【文章內容簡介】 第十七章 反比例函數17．1．1反比例函數的意義一、教學目標1．使學生理解并掌握反比例函數的概念2．能判斷一個給定的函數是否為反比例函數，并會用待定系數法求函數解析式3．能根據實際問題中的條件確定反比例函數的解析式，體會函數的模型思想二、重、難點1．重點：理解反比例函數的概念，能根據已知條件寫出函數解析式2．難點：理解反比例函數的概念三、例題的意圖分析教材第46頁的思考題是為引入反比例函數的概念而設置的，目的是讓學生從實際問題出發(fā)，探索其中的數量關系和變化規(guī)律，通過觀察、討論、歸納，最后得出反比例函數的概念，體會函數的模型思想。教材第47頁的例1是一道用待定系數法求反比例函數解析式的題，此題的目的一是要加深學生對反比例函數概念的理解，掌握求函數解析式的方法；二是讓學生進一步體會函數所蘊含的“變化與對應”的思想，特別是函數與自變量之間的單值對應關系。補充例例2都是常見的題型，能幫助學生更好地理解反比例函數的概念。補充例3是一道綜合題，此題是用待定系數法確定由兩個函數組合而成的新的函數關系式，有一定難度，但能提高學生分析、解決問題的能力。四、課堂引入1．回憶一下什么是正比例函數、一次函數？它們的一般形式是怎樣的？2．體育課上，老師測試了百米賽跑，那么，時間與平均速度的關系是怎樣的？五、例習題分析例1．見教材P47分析：因為y是x的反比例函數，所以先設，再把x＝2和y＝6代入上式求出常數k，即利用了待定系數法確定函數解析式。例1．（補充）下列等式中，哪些是反比例函數（1） （2） （3）xy＝21 （4） （5）（6） （7）y＝x－4分析：根據反比例函數的定義，關鍵看上面各式能否改寫成（k為常數，k≠0）的形式，這里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只單獨含x，（6）改寫后是，分子不是常數，只有（2）、（3）、（5）能寫成定義的形式例2．（補充）當m取什么值時，函數是反比例函數？分析：反比例函數（k≠0）的另一種表達式是（k≠0），后一種寫法中x的次數是－1，因此m的取值必須滿足兩個條件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特別注意不要遺漏k≠0這一條件，也要防止出現3－m2＝1的錯誤。解得m＝－2例3．（補充）已知函數y＝y(tǒng)1＋y2，y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當x＝1時，y＝4；當x＝2時，y＝5（1） 求y與x的函數關系式（2） 當x＝－2時，求函數y的值分析：此題函數y是由y1和y2兩個函數組成的，要用待定系數法來解答，先根據題意分別設出y y2與x的函數關系式，再代入數值，通過解方程或方程組求出比例系數的值。這里要注意y1與x和y2與x的函數關系中的比例系數不一定相同，故不能都設為k，要用不同的字母表示。略解：設y1＝k1x（k1≠0），（k2≠0），則，代入數值求得k1＝2，k2＝2，則，當x＝－2時，y＝－5六、隨堂練習1．蘋果每千克x元，花10元錢可買y千克的蘋果，則y與x之間的函數關系式為 2．若函數是反比例函數，則m的取值是 3．矩形的面積為4，一條邊的長為x，另一條邊的長為y，則y與x的函數解析式為 4．已知y與x成反比例，且當x＝－2時，y＝3，則y與x之間的函數關系式是 ，當x＝－3時，y＝ 5．函數中自變量x的取值范圍是 七、課后練習已知函數y＝y(tǒng)1＋y2，y1與x＋1成正比例，y2與x成反比例，且當x＝1時，y＝0；當x＝4時，y＝9，求當x＝－1時y的值答案：y＝4課后反思：17．1．2反比例函數的圖象和性質（1）一、教學目標1．會用描點法畫反比例函數的圖象2．結合圖象分析并掌握反比例函數的性質3．體會函數的三種表示方法，領會數形結合的思想方法二、重點、難點1．重點：理解并掌握反比例函數的圖象和性質2．難點：正確畫出圖象，通過觀察、分析，歸納出反比例函數的性質三、例題的意圖分析教材第48頁的例2是讓學生經歷用描點法畫反比例函數圖象的過程，一方面能進一步熟悉作函數圖象的方法，提高基本技能；另一方面可以加深學生對反比例函數圖象的認識，了解函數的變化規(guī)律，從而為探究函數的性質作準備。補充例1的目的一是復習鞏固反比例函數的定義，二是通過對反比例函數性質的簡單應用，使學生進一步理解反比例函數的圖象特征及性質。補充例2是一道典型題，是關于反比例函數圖象與矩形面積的問題，要讓學生理解并掌握反比例函數解析式（k≠0）中的幾何意義。四、課堂引入提出問題：1．一次函數y＝kx＋b（k、b是常數，k≠0）的圖象是什么？其性質有哪些？正比例函數y＝kx（k≠0）呢？2．畫函數圖象的方法是什么?其一般步驟有哪些？應注意什么？3．反比例函數的圖象是什么樣呢?五、例習題分析例2．見教材P48，用描點法畫圖，注意強調：（1）列表取值時，x≠0，因為x＝0函數無意義，為了使描出的點具有代表性，可以“0”為中心，向兩邊對稱式取值，即正、負數各一半，且互為相反數，這樣也便于求y值（2）由于函數圖象的特征還不清楚，所以要盡量多取一些數值，多描一些點，這樣便于連線，使畫出的圖象更精確（3）連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函數圖象永遠不會與x軸、y軸相交，只是無限靠近兩坐標軸例1．（補充）已知反比例函數的圖象在第二、四象限，求m值，并指出在每個象限內y隨x的變化情況？分析：此題要考慮兩個方面，一是反比例函數的定義，即（k≠0）自變量x的指數是－1，二是根據反比例函數的性質：當圖象位于第二、四象限時，k＜0，則m－1＜0，不要忽視這個條件略解：∵是反比例函數 ∴m2－3＝－1，且m－1≠0 又∵圖象在第二、四象限 ∴m－1＜0解得且m＜1 則例2．（補充）如圖，過反比例函數（x＞0）的圖象上任意兩點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OA、OB，設△AOC和△BOD的面積分別是SS2，比較它們的大小，可得（ ）（A）S1＞S2 （B）S1＝S2 （C）S1＜S2 （D）大小關系不能確定分析：從反比例函數（k≠0）的圖象上任一點P（x，y）向x軸、y軸作垂線段，與x軸、y軸所圍成的矩形面積，由此可得S1＝S2 ＝ ，故選B六、隨堂練習1．已知反比例函數，分別根據下列條件求出字母k的取值范圍（1）函數圖象位于第一、三象限（2）在第二象限內，y隨x的增大而增大2．函數y＝－ax＋a與（a≠0）在同一坐標系中的圖象可能是（ ） 3．在平面直角坐標系內，過反比例函數（k＞0）的圖象上的一點分別作x軸、y軸的垂線段，與x軸、y軸所圍成的矩形面積是6，則函數解析式為 七、課后練習1．若函數與的圖象交于第一、三象限，則m的取值范圍是 2．反比例函數，當x＝－2時，y＝ ；當x＜－2時；y的取值范圍是 ； 當x＞－2時；y的取值范圍是 3． 已知反比例函數，當時，y隨x的增大而增大，求函數關系式答案：3． 17．1．2反比例函數的圖象和性質（2）一、教學目標1．使學生進一步理解和掌握反比例函數及其圖象與性質2．能靈活運用函數圖象和性質解決一些較綜合的問題3．深刻領會函數解析式與函數圖象之間的聯(lián)系，體會數形結合及轉化的思想方法二、重點、難點1．重點：理解并掌握反比例函數的圖象和性質，并能利用它們解決一些綜合問題2．難點：學會從圖象上分析、解決問題三、例題的意圖分析教材第51頁的例3一是讓學生理解點在圖象上的含義，掌握如何用待定系數法去求解析式，復習鞏固反比例函數的意義；二是通過函數解析式去分析圖象及性質，由“數”到“形”，體會數形結合思想，加深學生對反比例函數圖象和性質的理解。教材第52頁的例4是已知函數圖象求解析式中的未知系數，并由雙曲線的變化趨勢分析函數值y隨x的變化情況，此過程是由“形”到“數”，目的是為了提高學生從函數圖象中獲取信息的能力，加深對函數圖象及性質的理解。補充例1目的是引導學生在解有關函數問題時，要數形結合，另外，在分析反比例函數的增減性時，一定要注意強調在哪個象限內。補充例2是一道有關一次函數和反比例函數的綜合題，目的是提高學生的識圖能力，并能靈活運用所學知識解決一些較綜合的問題。四、課堂引入復習上節(jié)課所學的內容1．什么是反比例函數？2．反比例函數的圖象是什么？有什么性質？五、例習題分析例3．見教材P51分析：反比例函數的圖象位置及y隨x的變化情況取決于常數k的符號，因此要先求常數k，而題中已知圖象經過點A（2，6），即表明把A點坐標代入解析式成立，所以用待定系數法能求出k，這樣解析式也就確定了。例4．見教材P52 例1．（補充）若點A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函數（k＜0）圖象上，則a、b、c的大小關系怎樣？分析：由k＜0可知，雙曲線位于第二、四象限，且在每一象限內，y隨x的增大而增大，因為A、B在第二象限，且－1＞－2，故b＞a＞0；又C在第四象限，則c＜0，所以b＞a＞0＞c說明：由于雙曲線的兩個分支在兩個不同的象限內，因此函數y隨x的增減性就不能連續(xù)的看，一定要強調“在每一象限內”，否則，籠統(tǒng)說k＜0時y隨x的增大而增大，就會誤認為3最大，則c最大，出現錯誤。此題還可以畫草圖，比較a、b、c的大小，利用圖象直觀易懂，不易出錯，應學會使用。例2． （補充）如圖， 一次函數y＝kx＋b的圖象與反比例函數的圖象交于A（－2，1）、B（1，n）兩點（1）求反比例函數和一次函數的解析式（2）根據圖象寫出一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍分析：因為A點在反比例函數的圖象上，可先求出反比例函數的解析式，又B點在反比例函數的圖象上，代入即可求出n的值，最后再由A、B兩點坐標求出一次函數解析式y(tǒng)＝－x－1，第（2）問根據圖象可得x的取值范圍x＜－2或0＜x＜1，這是因為比較兩個不同函數的值的大小時，就是看這兩個函數圖象哪個在上方，哪個在下方。六、隨堂練習1．若直線y＝kx＋b經過第一、二、四象限，則函數的圖象在（ ）（A）第一、三象限 （B）第二、四象限 （C）第三、四象限 （D）第一、二象限2．已知點（－1，y1）、（2，y2）、（π，y3）在雙曲線上，則下列關系式正確的是（ ）（A）y1＞y2＞y3 （B）y1＞y3＞y2 （C）y2＞y1＞y3 （D）y3＞y1＞y2七、課后練習1．已知反比例函數的圖象在每個象限內函數值y隨自變量x的增大而減小，且k的值還滿足≥2k－1，若k為整數，求反比例函數的解析式2．已知一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于A、B兩點，且點A的橫坐標和點B的縱坐標都是－2 ， 求（1）一次函數的解析式； （2）△AOB的面積答案：1．或或2．（1）y＝－x＋2，（2）面積為6課后反思：17．2實際問題與反比例函數（1）一、教學目標1．利用反比例函數的知識分析、解決實際問題2．滲透數形結合思想，提高學生用函數觀點解決問題的能力二、重點、難點1．重點：利用反比例函數的知識分析、解決實際問題2．難點：分析實際問題中的數量關系，正確寫出函數解析式三、例題的意圖分析教材第57頁的例1，數量關系比較簡單，學生根據基本公式很容易寫出函數關系式，此題實際上是利用了反比例函數的定義，同時也是要讓學生學會分析問題的方法。教材第58頁的例2是一道利用反比例函數的定義和性質來解決的實際問題，此題的實際背景較例1稍復雜些，目的是為了提高學生將實際問題抽象成數學問題的能力，掌握用函數觀點去分析和解決問題的思路。補充例題一是為了鞏固反比例函數的有關知識，二是為了提高學生從圖象中讀取信息的能力，掌握數形結合的思想方法，以便更好地解決實際問題四、課堂引入寒假到了，小明正與幾個同伴在結冰的河面上溜冰，突然發(fā)現前面有一處冰出現了裂痕，小明立即告訴同伴分散趴在冰面上，匍匐離開了危險區(qū)。你能解釋一下小明這樣做的道理嗎？五、例習題分析例1．見教材第57頁分析：（1）問首先要弄清此題中各數量間的關系，容積為104，底面積是S，深度為d，滿足基本公式：圓柱的體積 ＝底面積高，由題意知S是函數，d是自變量，改寫后所得的函數關系式是反比例函數的形式，（2）問實際上是已知函數S的值，求自變量d的取值，（3）問則是與（2）相反例2．見教材第58頁分析：此題類似應用題中的“工程問題”，關系式為工作總量＝工作速度工作時間，由于題目中貨物總量是不變的，兩個變量分別是速度v和時間t，因此具有反比關系，（2）問涉及了反比例函數的增減性，即當自變量t取最大值時，函數值v取最小值是多少？例1．（補充）某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓P（千帕）是氣體體積V（立方米）的反比例函數，其圖像如圖所示（千帕是一種壓強單位）（1）寫出這個函數的解析式；（2），氣球內的氣壓是多少千帕？（3）當氣球內的氣壓大于144千帕時，氣球將爆炸，為了安全起見，氣球的體積應不小于多少立方米？分析：題中已知變量P與V是反比例函數關系，并且圖象經過點A，利用待定系數法可以求出P與V的解析式，得，（3）問中當P大于144千帕時，氣球會爆炸，即當P不超過144千帕時，是安全范圍。根據反比例函數的圖象和性質，P隨V的增大而減小，可先求出氣壓P＝144千帕時所