【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ? 0oMkmPA41032 ?? ?m tP ?sinl m k ??EIl l A P 2?mA231 ?mA Ak32o 設(shè)體系在 t=0時(shí)靜止，然后有瞬時(shí)沖量 S作用 。 一般荷載 一般荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)可利用瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng)來(lái)推導(dǎo) 1)瞬時(shí)沖量的動(dòng)力反應(yīng) P(t) t P 瞬時(shí)沖量 S引起的振動(dòng)可視為由初始條件引起的自由振動(dòng)。 由動(dòng)量定理： mtPmSv ???000 ?yΔt cos sin ) ( 0 0 ? ? ? ? ? t v t y t y tmSty ?? s i n)( ?Δt τ t t39。 t39。 tm Sty ?? ?? s i n)( )(s i n ??? ?? tmStPSmv ???? 002)任意荷載 P(t)的動(dòng)力反應(yīng) P(t) t τ ???? dPdS )(?τ 時(shí)刻的微分沖量對(duì) t瞬時(shí) (t τ )引起的動(dòng)力反應(yīng) : )(s i n)( ??? ?? ?? tm dPdy初始靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意荷載作用下的位移公式 : ????? dtPmty t )(s i n)(1)( 0 ???(Duhamel 積分 ) 初始位移 y0和初始速度 v0不為零在任意荷載作用下的位移公式 : ??????? dtPmtvtyty t )(s i n)(1s i nc os)( 000 ?????t 3)幾種典型荷載的動(dòng)力反應(yīng) (1）突加荷載 ??????0,0,0)(0 tPttP當(dāng)當(dāng)P(t) t P ????? dtPmty t )(s i n)(1)( 0 ??????? dtPmty t )(s i n1)( 0 0 ?? ? )c o s1()c o s1(20 tytmPst ??? ????yst=P0δ=P0 /mω2 y st y(t) ωt 0 π 2π 3π 質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng) 2)]([ m a x ??styty?(2）短時(shí)荷載 ??????????ututPttP,00,0,0)( 0P(t) t P u 階段 Ⅰ( 0tu)：與突加荷載相同。 )c o s1()( tyty st ???階段 Ⅱ( tu)：無(wú)荷載，體系以 t=u時(shí)刻的位移 和速度 為初始條件作自由振動(dòng)。 )c o s1()( uyuy st ???uyuv st ?? s in)( ?sin cos ) ( 0 0 ? ? ? ? ? t v t y t y )(s i ns i n)(c o s)c o s1()( utuyutuyty stst ????? ????)c o s)(( c o s tuty st ?? ???或者直接由 Duhamel積分作 ????? dtPmty t )(s i n)(1)( 0 ??????? dtPmty u )(s i n1)( 0 0 ???)c os)(( c os20 tutm P ??? ??? )2(s i n2s i n2 utuy st ?? ??另解：短時(shí)荷載可認(rèn)為由兩個(gè)突加荷載疊加而成。 P(t) t P P(t) t P u P(t) t P u )c o s1()( tyty st ???))(c o s1()( utyty st ??? ?當(dāng) 0t u )c o s1()( tyty st ???當(dāng) t u )c o s1()( tyty st ??? ))(c o s1( uty st ??? ?)c o s)(( c o s tuty st ?? ??? )2(s i n2s i n2utuyst ?? ??y st y(t) ωt 0 π 2π 3π ωT 最大動(dòng)反應(yīng) 1） 當(dāng) u T/2 最大動(dòng)位移發(fā)生在階段 Ⅰ )c o s1()( tyty st ???styy 2m ax ?2） 當(dāng) u T/2 最大動(dòng)位移發(fā)生在階段 Ⅱ β =2 )2(s i n2s i n2)( utuyty st ?? ??2s i n2m a xuyyst??2s i n2u?? ?????????21,221,s i n2TuTuTu當(dāng)當(dāng)??Tuβ 1/6 1 1/2 2 動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜 (β 與 T和 u之間的關(guān)系曲線 ) (3）線性漸增荷載 ?????????rrrttPttttPtP當(dāng)當(dāng),0,)(00P(t) t P0 tr 這種荷載引起的動(dòng)力反應(yīng)同樣可由 Duhamel積分來(lái)求 解 : ??????????????????????????rrrstrrstttttttytttttyty當(dāng)當(dāng),)}(s i n{ s i n11,s i n)(????? 對(duì)于這種線性漸增荷載 ,其動(dòng)力反應(yīng)與升載時(shí)間的長(zhǎng)短有很大關(guān)系。其動(dòng)力系數(shù)的反應(yīng)譜如下： 0 Ttr β tr P0 動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜 動(dòng)力系數(shù) β 介于 1與 2之間。 如果升載很短， trT/4,則 β 接近于 2,即相當(dāng)于突加荷載情況。 如果升載很長(zhǎng)， tr4T,則 β 接近于 1,即相當(dāng)于靜荷載情況。 常取外包虛線作為設(shè)計(jì)的依據(jù)。 有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng) ① 單獨(dú)由 v0引起的自由振動(dòng)： ② 瞬時(shí)沖量 ds=Pdt=mv0所引起的振動(dòng)，可視為以 v0=Pdt/m，y0=0為初始條件的自由振動(dòng)： tvey rrt ???? s i n0??tmP dtey rrt ???? s i n??③ 將荷載 P(t)的加載過(guò)程 看作一系列瞬時(shí)沖量： )(s i n)( )( ??? ?? ??? ?? ?? tem dPdy rtr④ 總反應(yīng) ????? ??? dtemPty rttr)(s i n)()( )(0 ??? ?????????? ??? ? tyvtyerrrt ??????? s i nc os 000P(t) t τ ?d?? dPdS )(?t （ 1） 突加荷載 P0 )]s i n( c os1[)( 20 ttem Pty rrrt ???????? ??? ?低阻尼 y t曲線 無(wú)阻尼 y t曲線 y st y(t) ωt 0 π 2π 3π 4π 5π y(t) ωt 0 π 2π 3π 4π 5π 靜力平衡位置 具有阻尼的體系在 突加荷載作用下， 最初所引起的最大 位移接近于靜位移 yst=P0/mω 2的兩倍， 然后逐漸衰減，最 后停留在靜力平衡 位置。 （ 2） 簡(jiǎn)諧荷載 P(t)=Fsinθt tmFyyy ???? s i n2 2 ??? ???設(shè)特解為 ： y=Asin θt +Bcos θt代入得 ： 222222222222224)(2,4)( ?????? ? ????????????????mFBmFA? ?}s i nc o s{ 21 tCtCey rrt ???? ?? ? +{Asin θt +Bcos θt } 齊次解加特解得到通解： 自由振動(dòng)，因阻尼作用， 逐漸衰減、消失。 純強(qiáng)迫振動(dòng)，平穩(wěn)振動(dòng)， 振幅和周期不隨時(shí)間而變化。 結(jié)論：在簡(jiǎn)諧荷載作用下，無(wú)論是否計(jì)入阻尼的作用，純強(qiáng)迫振動(dòng)部分總是穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，稱為平穩(wěn)振動(dòng)。 y=Asin θt +Bcos θt =yPsin(θt － α) 2122222222)(1)(2,4121?????????????????????????????? ???? ??tgyBAy stP振幅 ： yp， 最大靜力位移 ： yst=F/k=F/mω2 ??stPyy?2122222241?????????????????? ????????stPyy?2122222241????????????????????????動(dòng)力系數(shù) β 與頻率比 θ/ω 和阻尼比 ξ 有關(guān) 0 β θ/ω ξ=0 ξ= ξ= ξ= ξ= ξ= 幾點(diǎn)注意： ①隨 ξ 增大 β 曲線漸趨平緩， 特別是在 θ/ω= 1附近 β 的 峰值下降的最為顯著 。 ? ? 2 1 ? 共振時(shí) ② 當(dāng) θ 接近 ω 時(shí)， β 增加很快， ξ 對(duì) β 的數(shù)值影響也很大。在 θ/ω (共振區(qū) )內(nèi)，阻尼大大減小了受迫振動(dòng)的位移，因此 , 為了研究共振時(shí)的動(dòng)力反映 , 阻尼的影響是不容忽略。在共振區(qū)之外阻尼對(duì) β的影響較小，可按無(wú)阻尼計(jì)算。 ③ β max并不發(fā)生在共振 θ/ω =1時(shí)，而發(fā)生在 ， ④ 由 y=yPsin(θ t－ α ) 可見(jiàn)，阻尼體系的位移比荷載 P=Fsin θ t 滯后一個(gè)相位角 α ， ??????? 21,11m a x ??????????峰21)(1)(2???????? ?tg但因 ξ很小，可近似地認(rèn)為： 221 ??? ???當(dāng) θω 時(shí) ,α →0 176。 體系振動(dòng)得很慢， FI、 R較小，動(dòng)荷主要由 S平衡，S與 y反向， y與 P基本上同步；荷載可作靜荷載處理。 ?當(dāng) θ ω 時(shí) ,α →180 176。 體系振動(dòng)得很快， FI很大， S、 R相對(duì)說(shuō)來(lái)較小，動(dòng)荷主要由 FI 平衡， FI 與 y同向， y與 P反向； )c os (),s i n (),s i n (),s i n (2 ??????????????????????????tycycRtymymFtkykyStyyPPIPP???彈性力 S，慣性力 FI， 阻尼力 R分別為： t ? sin ? 2 1 t F ? sin ? ? m ? ? 2 2 ? ? ?當(dāng) θ=ω時(shí) ,α→90 176。 由此可見(jiàn)：共振時(shí)（ θ=ω ）， S與 FI剛好互相平衡 ， β yst 21)(1)(2???????? ?tg)c o s (),s i n (),s i n (),s i n (2??????????????????????????tycycRtymymFtkykyStyyPPIPP???有無(wú)阻尼均如此。動(dòng)荷恰與阻尼力平衡，故運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)穩(wěn)態(tài)故不會(huì)出現(xiàn)內(nèi)力為無(wú)窮大的情況。而在無(wú)阻尼受迫振動(dòng)時(shí)，因不存在阻尼力與動(dòng)荷載平衡，才出現(xiàn)位移為無(wú)限大的現(xiàn)象。 k=mω2=mθ2 2?mF)90s i n ( 0??? tkyS P ? )90s i n ( 02 ?? tymF PI ??)90c os ( 0????? ? tycycR P ?? tym P ???? s i n2??例 14 圖示塊式基礎(chǔ) .機(jī)器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為 。地基豎向 剛度為 。豎向振動(dòng)時(shí)的阻尼比為 機(jī)器轉(zhuǎn)速為 N=800r/min,其偏心質(zhì)量引起的離心力為 P= 振動(dòng)時(shí)的振幅。 kg101 5 6 3??mk g / 3 1 4 3??K ??解： 30 33 ?????? KPy st)s/1( 36?? ??? mK?tPtP ?s in)( ?)s/1( ??? ?? N)/2()/1(/1 2222 ???? ??????)mm(?? ?styA例 15 求突加荷載作用下的位移，開(kāi)始時(shí)靜止，不計(jì)阻尼。 m )(tP )(tyP)(tPt??