軌跡與方程ppt課件(編輯修改稿)
2025-05-30 18:31 本頁面
【文章內容簡介】 xOz和 yOz有等距離 的點的軌跡，因此 M(x,y,z)在平分面上的充要條件是 |y|=|x| 即 X+y=0 與 xy=0 (x? x0)2 + (y ? y0)2 + (z ? z0)2 = R2 (1) 稱方程 (1)為 球面的標準方程 . 特別 : 當球心在原點 O(0, 0, 0)時 , 球面方程 : x2 + y2 + z2 = R2 例 求球心為 M0(x0, y0,z0), 半徑為 R的球面 的方程 . 解： 對于球面上任一點 M(x, y, z), 都有 |M M0|2 = M0 M R 例 4 求與原點 O 及 )4,3,2(0M 的距離之比為 2:1 的點的全體所組成的曲面方程 . 解 設 ),( zyxM 是曲面上任一點，,21|| ||0?MMMO根據(jù)題意有 ? ? ? ? ? ? ,21432 222222????????zyxzyx? ? .91 1 634132222??????? ?????????? ? zyx所求方程為 解 : 原方程可改寫為 (x ?1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5 故 : 原方程表示球心在 M0(1, ?2, 0), 半徑為 的球面 . 5例 5: 方程 x2 + y2 + z2 ?2x + 4y = 0表示怎樣的曲面 ? zxyo例 6 方程 的圖形是怎樣的？ 1)2()1( 22 ????? yxz根據(jù)題意有 1??z用平面 cz ? 去截圖形得圓：)1(1)2()1( 22 ??????? ccyx 當平面 cz ? 上下移動時，得到一系列圓圓心在 ),2,1( c ，半徑為 c?1半徑隨 c 的增大而增大 .圖形上不封頂，下封底． 解 c二、曲面的參數(shù)方程 雙參數(shù)矢函數(shù) 在兩個變數(shù) u,v的變動區(qū)域內定義的函數(shù) r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2) 稱為雙參數(shù)矢函數(shù)，其中 x(u,v),y(u,v),z(u,v)是變矢 r(u,v)的分量，它們都是變數(shù) u， v的函數(shù) 。 當 u,v取遍變動區(qū)域的一切 值時，徑矢 OM= r(u,v) =x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 的終點 M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 所畫的軌跡一般為一張曲面。 M o z x y S 曲面的矢量式參數(shù)方程 定義：若取 u,v(a?u?b,c?v?d)的一切可能值，由（ 2） 表示的徑矢 r(u,v)的終點 M總在一個曲面上，反之，在 這個曲面上的任意點 M總對應著以它為終點的徑矢， 而這徑矢可由 u,v的值 (a?u?b,c?v?d)通過（ 2）完全決 定，則稱（ 2）式為曲面的 矢量式參數(shù)方程 ，其中 u,v為 參數(shù)。 曲面的坐標式參數(shù)方程 因為徑矢 r(u,v)的分量為 {x(u,v),y(u,v)z(u,v)},所以曲面 的參數(shù)方程也常寫成 )3(),(),(),(????????vuzzvuyyvuxx表達式（ 3）稱為曲面的 坐標式參數(shù)方程 。 例 5 求中心在原點，半徑為 r的球面的參數(shù)方程 。 M R x y z P Q θ ? 解：設 M(x,y,z)是球面上任一點， M在 xOy 坐標面上的射影為 P，而 P在 x軸上的射影為 Q，又設在坐標 面上的有向角 ?(i,OP)=?,Oz軸與 OM的交角 ?zOM=θ ，則 r=OM=OQ+QP+PM 且 PM=(rcosθ)k 所以 r=(rsinθcos ?)i +(rsinθsin ? )j+ (rcosθ)k (4) 此即為中心在原點，半徑為 r的球面的矢量式參數(shù)方程 。 QP=(|OP|sin?)j=(rsinθsin ?)j OQ=(|OP|cos ?)i=(rsinθcos ?)i 中心在原點，半徑為 r的球面的坐標式參數(shù)方程為 )5(c o ss i ns i nc o ss i n?????????????rzryrx（ 4），（ 5）中的 θ ， ?為參數(shù)，其取值范圍分別是 0?θ ??與 ???＜ ?。 例 7 求以 z軸為對稱軸，半徑為 R的圓柱面的參數(shù)方程。 解：如圖 ,有 P x y z o o M ? Q r
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