【文章內(nèi)容簡介】 ?? 45?2?3?44,0 3,21 jpp ???? 根軌跡完成。 ?????????????nxiiixmjjxx ppzp11)()(180起?]16)4[()()( 2 ??? ssKsHsG 03 90??例 47 作 的根軌跡。 )12()1()()(2 ???sssKsHsG該系統(tǒng) n=3 ， m=1。 根據(jù) 規(guī)則一、二、三 ： ,12,0 32,1 ??? pp 1??z一個零點(diǎn)： 有三個開環(huán)極點(diǎn)： ● 2 4 6 12 該根軌跡有三個分支 , 分別起始于 p = 0(兩條 )和 p = 12處， 有一個分支終止于 z = 1, 另兩個分支趨于無窮遠(yuǎn)。 根據(jù) 規(guī)則四 ： 實(shí)軸上存在根軌跡是從 12到 1之間。 例 47 根據(jù) 規(guī)則五 ：漸近線有 2條， nm＝ 2。 漸近線夾角： mnk????? )12(180? ?2,1,0?k??? 901 )2 7 0(90 02 ????漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)： mnzpnimjji????? ?? ?1 12)1(12 ????211?? ?? ● 2 4 6 12 )12()1()()(2 ???sssKsHsG例 47 根據(jù) 規(guī)則七 、 求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。 閉環(huán)特征方程是： 012 23 ???? KKsss0012121210123KsKKsKsKs?K＞ 0時，第一列元素都為正值，根軌跡與虛軸交點(diǎn)于 K=0處。 ● 2 4 6 12 )12()1()()(2 ???sssKsHsG例 47 根據(jù) 規(guī)則六 、求分離點(diǎn) 112 23????sssK 0?dsdk0)1( 24152 223?? ???? s sssdsdk則： 024152 23 ??? sss s1 =, s2= ， s3＝ 0。 可知一部分根軌跡為圓。 據(jù)此，可畫出根軌跡。 均在根軌跡上。 大 K→s1 小 K→s2 ● 2 4 6 12 009021 8 0 ?????求出分離角為 : )12()1()()(2 ???sssKsHsG 例 47 利用幅值條件，可求出分離點(diǎn)的 K值。 ,)1()12(001111 ????????ssssK代入幅值條件：把處在 , 11 ??s112 23 ?????sssKs2是第一分離點(diǎn)， s1是第二分離點(diǎn)。 完整的繪出根軌跡如圖所示。 ● 2 4 6 12 ???????miiniizspsK11表達(dá)式：代入把處在 , 22 ??s作業(yè)： 47， 45 (2)(4) s1 =, s2= ， s3＝ 0。 )12()1()()(2 ???sssKsHsG 廣義根軌跡 常規(guī)根軌跡－以開環(huán)增益 K為可變參量 這些參數(shù)必須以 線性形式 出現(xiàn)在特征方程中。 （如某些開環(huán)零極點(diǎn)、調(diào)節(jié)器 PID參數(shù) 或者系統(tǒng)的時間常數(shù)等） 廣義根軌跡－其它參數(shù)為變量 常用的研究方法－ 把廣義根軌跡轉(zhuǎn)換成常規(guī)根軌跡 ，使用常規(guī)根軌跡的方法繪制廣義根軌跡。 單參數(shù)根軌跡 繪制廣義根軌跡的步驟如下： (2) 列寫以新的變量表示的 等效 系統(tǒng) 開環(huán)傳遞函數(shù) (GH )e (1) 寫出原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式； l 概念 ：指具有相同的閉環(huán)特征方程： eGHGH )(11 ???l 做法 ：從原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程出發(fā)，把與新變 量有關(guān)的項(xiàng)寫到分子上，其余部分寫在分母上。 這樣，參變量移到 K的位置。 因而具有相同的閉環(huán)特征根。 (3) 把等效系統(tǒng)的參數(shù)當(dāng)作原系統(tǒng)中的增益 K， 以常 規(guī)根軌跡的繪制規(guī)則，繪制廣義根軌跡。 繪制廣義根軌跡的關(guān)鍵是得到 等效開環(huán)傳遞函數(shù) 。 （ 1）等效開環(huán)傳遞函數(shù) 以下圖所示的調(diào)節(jié)系統(tǒng)為例說明。 )(saKpGc(s) ﹢ ﹣ R(s) Y(s) )()(0 saKKsG pc?開環(huán)傳遞函數(shù)：?eGH ][0)( ?? pc KKsa閉環(huán)特征方程：pc KKK ?,)( cc KsG ? 為變量。以 cK???? 0:,0: cKKpc KKK ?閉環(huán)特征方程相同。pc KK)(sa)(][ saKGHe ? )(saKpGc(s) ﹢ ﹣ R(s) Y(s) 開環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)特征方程：?eGH )()()(0 sasTKKKKsG dpcpc ??0)( ??? sTKKKKsa dpcpc閉環(huán)特征方程相同。 pcddpc KKKTTKKK /, ??)1()( sTKsG dcc ?? 為變量。以 dT,pcdpcKKsasTKK?)( pcdpcKKsasTKK???)()0(???? 0:,0: dTKpc KKsasK???)()0( )(saKpGc(s) ﹢ ﹣ R(s) Y(s) )11()(sTKsGicc ??)()()( 10 ssasKKsG iTpc ??sKKssaKKGHpcTpcei?? )()(1,/ ipc TKKK ?閉環(huán)特征方程： 0)( 1 ???? iTpcpc KKsKKssa。有相同的閉環(huán)特征方程???????0:0:iTKKKKT pci ?為變量。以 iT,廣義根軌跡繪制總結(jié)： l 關(guān)鍵點(diǎn) 要把新參數(shù)移到原 K的位置上，利用常規(guī) 根軌跡的畫法。 ▲ 等效只等效在閉環(huán)特征方程和它的解 (閉環(huán)極點(diǎn) ) 上，不等效在閉環(huán)傳遞函數(shù)上。 l 移動的原則 是等效系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程必須和原 系統(tǒng)相同。 必須注意： ▲ 廣義根軌跡只用在分析閉環(huán)極點(diǎn)對系統(tǒng)的影響， 不能用于分析整個閉環(huán)系統(tǒng)。 ▲ 閉環(huán)零點(diǎn)往往是不相同的，而閉環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)的 閉環(huán)過程也有影響。 （ 2）廣義根軌跡的畫法 繪制當(dāng)對象的開環(huán)極點(diǎn) p變化時的廣義根軌跡。 例 48 ① 開環(huán)傳遞函數(shù)： )(4)()(psssHsG ?? 開環(huán)極點(diǎn)： ppp ??? 21 ,0 閉環(huán)特征方程 : 042 ??? pssK=4 ② 等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 4)( 2 ?? spsGHe )2)(2( jsjsps???)(4pss ?﹢ ﹣ R(s) Y(s) 分析： l 等效系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點(diǎn) ，一個開環(huán)零點(diǎn) 0。 2j?l 根軌跡起點(diǎn)于 ，終止于零和無窮遠(yuǎn)處。 2j? ● 漸近線： 0,1801/18000 ???? aIm(s) Re(s) ● 2 P→∞ ∞←P P=0 j2 j2 ● 求分離點(diǎn)坐標(biāo)： ,0)(1 ?? eGH ,42ssp ???0422???? ssdsdP ,2??s 在根軌跡上2??s● 4)( 2 ?? spsGHel 負(fù)實(shí)軸為根軌跡，有一分離點(diǎn)。 P=0 把 s＝ 2代入 p的公式，求出此點(diǎn) p=4。 研究開環(huán)極點(diǎn)對閉環(huán)極點(diǎn)的影響 分離角為 90176。 K=4 )(4pss ?﹢ ﹣ R(s) Y(s) P=0 無阻尼； 0p4 欠阻尼； P=4 臨界阻尼； p4 過阻尼。 還可以畫出在 p=0時， K從零到無窮大變化時的根軌跡。 此時，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 2)0()()( sKssKsHsG ???0,0 21 ?? pp閉環(huán)特征方程： ,02 ?? Ks ,Kjs ??????? jsK 0:,0:根軌跡為兩條從原點(diǎn)出發(fā)，沿正負(fù)虛軸趨向無窮遠(yuǎn)處的軌跡 。求特殊點(diǎn)的 K值。 0 j2(K=4) j2(K=4) p=0 2js ??在 處兩圖都有 K=4， p=0。 比較 開環(huán)極點(diǎn)： Im(s) Re(s) ● 2 P→∞ ∞←P P=0 j2 j2 ● P=0 K=4 多參數(shù)根軌跡 當(dāng)系統(tǒng)中有兩個以上參數(shù)變化時的根軌跡叫作根軌跡族。 根軌跡族的一般做法是： l 每次選定一個參數(shù)為常數(shù)，讓另一個參數(shù)從零變 化到無窮大，畫出根軌跡； l 隨后，改變第一個參數(shù)值，重復(fù)前面的過程畫出 根軌跡。 有兩種做法： 以上述系統(tǒng)為例，繪出當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)增益 K和開環(huán)極點(diǎn) p從零到無窮大變化時的根軌跡族。 （ 1）分別取 K為不同值，畫出參數(shù) p變化時的根軌跡。 此時，等效開環(huán)傳遞函數(shù)為： KspsGHe ?? 2)(l 對應(yīng)于任何 K， 都有 2條根軌跡。 KKl 復(fù)平面上的根軌跡是以原點(diǎn)為圓 心，半徑是 的半圓，與實(shí)軸 交點(diǎn)在 。見圖 。 Kj?l 起點(diǎn)于等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極 點(diǎn) , 止于零和無窮遠(yuǎn)處。 ))(()0(KjsKjssp????● 1 2 3 P=∞ P=0 j1(K=1) j2 (K=4) j3 (K=9) ● ● ● ● Kjpz???2,11 0（ 2）分別取 p為不同值，畫出參數(shù) K變化時的根軌跡。 此時，開環(huán)傳遞函數(shù)為： )()( pssKsGo ??? 對應(yīng)于任意 p值都有 2條根軌跡； ? 起點(diǎn)在開環(huán)極點(diǎn) 0和 p； ? 實(shí)軸上根軌跡在 p和 0之間； ? 分離點(diǎn)坐標(biāo)是 p/2， 分離角為177。 90176。； ? 2條根軌跡經(jīng) p/2交點(diǎn)后，分別平行于虛軸，趨向無窮遠(yuǎn)處。 0 3 2 1 ∣ ∣ ∣ P=2 P=4 P=0 表面看來， P=2 P=4 上述兩圖不同，但仔細(xì)觀察，在兩圖中，當(dāng) K和 p取相同一組值時，特征根 s也取相同值。 ● ● ● ● 1 2 3 P=∞ P=0 j1(K=1) j2(K=4) j3(K=9) )()()( pssKsHsG??))(()( KjsKjspsGHe ???如 K=4， p=4， s=2， 0 3 2 1 ∣ ∣ ∣ ● ● ● 31,2,4 jspK ?????P=2