波動方程ppt課件(編輯修改稿)
2025-05-28 05:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 方程 5是滿足波函數(shù)條件的本征函數(shù) 。 為了 使函數(shù)滿足有限條件 ，演算中必須有 λ＝ 2n+1， n是整數(shù) 。 由 4式： 22111, 0 , 1 , 2 , .. .22EnE n n h n????? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?(7) 7式給出能量算符 H的本征值 ， 是簡諧振子的量子化能級 。 能級差為 hν， 最低能級是 hν/ 2 而不是 0！ 許多物理問題可以簡化為簡諧振子問題 ， 這一結(jié)果具有普遍意義 。 例如電磁振蕩可以分解為一系列的簡諧振動 ， 所以輻射場的能量子是一份一份的 ， 每一份的能量為 hν， 這就是 普朗克假設(shè)的物理本質(zhì) 。 一、波動方程 一維勢壘的簡單討論 V＝ 0 (0xx1) [I區(qū) ] V2E (x1xx2) [II區(qū) ] 0 (xx2) [III區(qū) ] 粒子在 I區(qū)，具有能量 E0。各區(qū)的勢壘如下，求粒子在各區(qū)出現(xiàn)的幾率。 一、波動方程 列出此問題的薛定諤方程： ? ?? ?22222222duV x u E um dxd u mV E udx? ? ???在 I區(qū)， V＝ 0： （ 1） 22112222 , d u m E m Eu k u kdx ? ? ? ? ?設(shè) u＝ eαx，則 u”＝ α2u，那么 1122111。 i k x i k xu k u iku A e B e???? ? ? ???（ 2） 一、波動方程 在 II區(qū)， V＝ V2E，那么 ? ? ? ?22222222, m V Ed u mV E u k u kdx?? ? ? ?設(shè) u＝ eβx，則 u”＝ β2 u，那么 2222222 2 2, k x k xu k u ku A e B e????? ? ???2， 3兩式第一項都表示從左向右運動的粒子，第二項則是經(jīng)過邊界反射后從右向左運動的粒子。 （ 3） 一、波動方程 在 III區(qū)， V＝ 0： 223 3 12222 , d u m E m Eu k u k kdx ? ? ? ? ? ?這和第 I區(qū)的方程一樣，所以它的解是： 333 3 3ik x ik xu A e B e ???在 III區(qū)沒有反射粒子，那么 B3＝ 0，故： 333 i k xu A e?（ 4） （ 5） 一、波動方程 2， 3， 5式分別是 I， II， III區(qū)的波函數(shù)，由邊界處連續(xù)條件有： 1212 , du duuudx dx??在 x1處： 3223 , duduuudx dx??在 x2處： 經(jīng)過演算就得到如圖的波函數(shù)： 一、波動方程 在量子力學中，用幾率流密度 J表示粒子流量： ? ?**2iJ u u u um? ? ? ?一維情況下簡化為： * *2i du duJ u um dx dx????????所以可以算出入射波 ，反射波 和透射波 的幾率流密度為： 1ik xAe ? 1ik xBe ? 33 kxAe?2 2 23, , RDk k kJ A J B J Am m m? ? ?132 mEk k k? ? ?注 意 一、波動方程 可以看到，在 I區(qū)前進的一部分粒子會透入 III區(qū)，透入 III區(qū)的粒子數(shù)目與 I區(qū)前進粒子數(shù)目之比稱為透射系數(shù) D： ? ?2 22302m V E dDAJD D eJ A??? ? ?其中 d＝ x2－ x1，是勢壘厚度。 可以看出： 勢壘厚度越大，通過的幾率越??； 勢壘越高，通過的幾率越小。 d (nm) T for e with 5 eV 一、波動方程 掃描隧道顯微鏡（ Scanning Tunneling Microscopy— STM） 一、波動方程 一、波動方程 一、波動方程 Fe on Cu(111) 一、波動方程 Fe on Cu(111) 一、波動方程 一、波動方程 一、波動方程 一、波動方程 一、波動方程 一、波動方程 Xe on Ni 一、波動方程 內(nèi)容復習 一維無限深勢阱 22222En ma??1122E n h n??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?一維諧振子 一維勢壘 ? ?2 20m V E dD D e ??? 一、波動方程 軌道角動量 x y z r θ 若勢能 V(r)只依賴于場點到原點的距離 r， 與極角 θ， 幅角 φ無關(guān) ， 顯然 V具有球?qū)ΨQ性 ， 那么描述粒子運動的波在 r， θ， φ三個方向互相獨立 ， 定態(tài)波函數(shù)可以寫為： ? ? ? ? ? ? ? ?,r R r? ? ? ? ?? ? ?φ 球坐標中的拉普拉斯算符為： 2 2 222 2 2222 2 2 2 21 1 1 sinsin sinx y zrr r r r r?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 二、軌道角動量 代入薛定諤方程，得到： ?
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