電路與信號(hào)分析基礎(chǔ)第3章(編輯修改稿)
2025-05-30 08:40 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 一階電路的零輸入響應(yīng) L GLR? ??LL( ) ( 0 ) eti t i ?????31 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) 所謂零狀態(tài)，是指電路的初始狀態(tài)為零，即電路中儲(chǔ)能元件的初始能量為零。 換句話說(shuō)，就是電容元件在換路的瞬間電壓 ,或電感元件在換路的瞬間電流 ，在此條件下，電路在外激勵(lì)的作用下產(chǎn)生的響應(yīng)稱(chēng)為零狀態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)也可稱(chēng)為零初始狀態(tài)響應(yīng)。 C (0 ) 0u ?L (0 ) 0i ?32 1． RC電路的零狀態(tài)響應(yīng) RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)實(shí)際上就是 它的充電過(guò)程。已知電路如圖 所示，當(dāng)時(shí)，開(kāi)關(guān) S在位置 2，電路 已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)，即電容元件的兩極 板上沒(méi)有電荷，電容沒(méi)有儲(chǔ)存電能。 當(dāng)開(kāi)關(guān) S由位置 2倒向位置 1。根據(jù)換路定則 當(dāng) 時(shí)電容相當(dāng)于短路，此刻的等效電路可以看出，電源電壓全部施加于電阻兩端，此時(shí)的電流達(dá)到最大 隨著電源流經(jīng)電阻對(duì)電容充電，充電電流逐漸減小，直至 ，充電過(guò)程結(jié)束。 此時(shí)電流 ，電容相當(dāng)于開(kāi)路，電路進(jìn)入新的穩(wěn)態(tài)。 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) CC(0 ) (0 ) 0uu????0t ??S(0 ) UiR? ?CSuU?0i?33 定量的數(shù)學(xué)分析： 由 KVL定律和電路元件的伏安特性可得 聯(lián)立，可得一階常系數(shù)線性非齊次微分方程為 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) R C S ( 0 )u u U t? ? ?Ru Ri?CdduiCt?CCSd ( 0 )duR C u U tt ? ? ?C ( 0 ) 0u ? ?34 該微分方程的完全解可表示為 原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程為 此方程的通解為 把電路達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)后的狀態(tài)作為特解 C C Cu u u? ????C Cd 0duR C ut?? ????C eettRCu A A ????? ??CSuU? ?通解為 C C C S etu u u U A ??? ??? ? ? ? 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) 35 非齊次方程的特解 齊次方程的 通解 把初始條件 代入上式 得通解為 稱(chēng)為 RC電路的時(shí)間常數(shù)，反映電容充電的快慢，也就是說(shuō)反映電路過(guò)渡過(guò)程的長(zhǎng)短。時(shí)間常數(shù)越大，充電時(shí)間越長(zhǎng) 。 C (0 ) 0u ? ? SAU??C S S Se ( 1 e )ttu U U U????? ? ? ? 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) RC? ?圖 電壓和電流的波形 36 根據(jù) KCL定律和元件的約束關(guān)系可得 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) R S S ( 0 )i i I t? ? ?RuiR?LddiuLt? 37 得到一階常系數(shù)線性非齊次微分方程為 可知方程的解由兩部分組成 所對(duì)應(yīng)的齊次方程為 此方程的通解為 特解為電路達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)后的狀態(tài) 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) L LSd ( 0 )diL i I tRt ? ? ?L (0 ) 0i ? ?i i i? ????LLd 0diL iRt?? ????L e ( 0 )R tLi A t??? ??LSiI? ?38 非齊次方程的特解 齊次方程的 通解 通解 把初始條件代入上式，可得 最后得通解為 令 為電路的時(shí)間常數(shù) 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) S eR tLi i i I A ?? ??? ? ? ?SAI??L S S S( ) e ( 1 e )RRttLLi t I I I??? ? ? ?/LR? ?LLSd( ) e ( 0 )dR tLiu t L R I tt?? ? ?39 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) 圖 RL零狀態(tài)響應(yīng)的電壓和電流波形 40 一階電路的全響應(yīng) 一階電路的全響應(yīng) 當(dāng)電路的初始狀態(tài)不為零，而且 外加激勵(lì)也不為零時(shí)，電路的響 應(yīng)稱(chēng)為電路的全響應(yīng) 。 根據(jù)基爾霍夫電壓定律和伏安特性，換路后的電路方程為 可得電路全響應(yīng)的微分方程為 R C Su u U??Ru Ri?CdduiCt?CCSd ( 0 )duR C u U tt ? ? ?41 一階電路的全響應(yīng) 方程的解由兩部分構(gòu)成 由零狀態(tài)響應(yīng)的分析可知 則有 常數(shù) 由初始條件 確定 方程的解為 C C Cu u u? ????C eettRCu A A ????? ??CS etu U A ????A C C 0( 0 ) ( 0 )u u U????0SA U U??C S 0 S( )etU U U ??? ? ?C S 0(1 e ) ettu U U????? ? ?42 C S 0 S( )etu U U U ??? ? ?式 ()中第一項(xiàng) (即特解 )與外加激勵(lì)具有相同的函數(shù)形式，稱(chēng)為 強(qiáng)制響應(yīng) 。第二項(xiàng)的函數(shù)形式由特征根確定，與激勵(lì)的函數(shù)形式無(wú)關(guān) (它的系數(shù)與激勵(lì)有關(guān) )，稱(chēng)為 固有響應(yīng) 或自然響應(yīng)。因此，按電路的響應(yīng)形式，全響應(yīng)可分解為固有響應(yīng)和強(qiáng)制響應(yīng)。 第一項(xiàng)在任何時(shí)候都保持穩(wěn)定，與輸入有關(guān)，當(dāng)輸入為直流時(shí)，則穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為常數(shù)，所以第一項(xiàng)又稱(chēng)為 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) ，它是當(dāng) 趨于無(wú)窮大，后一項(xiàng)衰減為 0時(shí)的電路響應(yīng)。第二項(xiàng)按指數(shù)規(guī)律衰減，當(dāng) 趨于無(wú)窮大時(shí)，該分量將衰減至 0，所以又稱(chēng) 暫態(tài)響應(yīng) 。因此按電路的響應(yīng)特性，全響應(yīng)又可分解為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和暫態(tài)響應(yīng)。換路后激勵(lì)恒定且在 的情況下，一階電路的固有響應(yīng)就是暫態(tài)響應(yīng)，強(qiáng)制響應(yīng)就是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 一階電路的全響應(yīng) tt0R?43 三要素法 描述一階線性電路的電路方程是一階線性微分方程，它的解由兩部分構(gòu)成 是原方程的一個(gè)特解，一般選用穩(wěn)態(tài)解來(lái)作為特解， 是對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，即 所以有 把初始條件代入式 一階電路全響應(yīng)的一般表達(dá)式為 ( ) ( ) ( )f t f t f t? ????()ft?( ) ( )f t f? ??()ft??( ) etf t A ???? ?( ) ( ) etf t f A ??? ? ?(0 ) ( )f f A? ? ? ? (0 ) ( )A f f?? ? ?( ) ( ) [ (0 ) ( )]etf t f f f ???? ? ? ? ?44 三要素：初始值 +穩(wěn)態(tài)值 +時(shí)間常數(shù) 求解步驟如下 ： ? (1) 求初始值 。在換路前的電路中求出 或 ，由換路定則有 或 ，得到 或 。將電容元件用電壓為 的直流電壓源替代，電感元件用電流為 的直流電流源替代，得出 時(shí)刻的等效
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