【文章內(nèi)容簡介】 水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植紙D形也是沿程逐漸改變的。流速的大小和 方向沿流線急劇變化的非均勻流，稱為急變流。顯然其流線之間的夾角較大，或者流線曲率半徑較小，或者兩者兼而有之。 圖 39 均勻流 圖 310 非均勻流 急變流 緩變流 緩變流 緩變流 緩變流 急變流 急變流 急變流 急變流 圖 311 緩變流和急變流 第三節(jié) 流體流動的連續(xù)性方程 連續(xù)性方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。我們認為流體是連續(xù)介質(zhì)，它在流動時連續(xù)地充滿整個流場。在這個前提下，當(dāng)研究流體經(jīng)過流場中某一任意指定的空間封閉曲面時，可以斷定：若在某一定時間內(nèi)，流出的流體質(zhì)量和流入的流體質(zhì)量不相等時，則這封閉曲面內(nèi)一定會有流體密度的變化，以便使流體仍然充滿整個封閉曲面內(nèi)的空間；如果流體是不可壓縮的，則流出的流體質(zhì)量必然等于流入的流體質(zhì)量。上述結(jié)論可以用數(shù)學(xué)分析表達成微分方程，稱為連續(xù)性方程。 一、直角坐標系下連續(xù)性微分方程式 設(shè)在流場中任取一個微元平行六面體，其邊長分別為dx、 dy和 dz，如 圖 312所示。 假設(shè)微元平行六面體形心的坐標為 x、 y、 z，在某一瞬時 t經(jīng)過形心的流體質(zhì)點沿各坐標軸的速度分量為 u、 v、 w，流體的密度為 ρ?，F(xiàn)討論流體經(jīng)六面體各面的流動情況。 先分析 x軸方向，由式 (34)和式 (35)可知， u和 ρ都是坐標和時間的連續(xù)函數(shù)，即 u=u (x， y， z， t)和 ρ = ρ (x，y， z， t)。根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，略去高于一階的無窮小量，得在 dt時間內(nèi)，沿軸方向從左邊微元面積 dydz流入的流體質(zhì)量為 圖 312 流場中的微元平行六面體 同理可得在 dt時間內(nèi)從右邊微元面積 dydz流出的流體質(zhì)量為 (322) 上述兩者之差為在 dt時間內(nèi)沿 x軸方向流體質(zhì)量的變化，即 (323) tzytzyxxutzyxx ddd,2d,2d ?????? ??????? ??tzyxtuuxttzyxtutzyxuxttzyxddd2d2dddd2d),(2d),(??????????????????????????????????????????tzyxtuuxt ddd2d2d ?????????????????? ??tzyxuxtzyxxuxxu dddd)(ddddd ??? ?????????? ?????? 同理可得，在 dt時間內(nèi)沿 y軸和 z軸方向流體質(zhì)量的變化分別為： 因此，在 dt時間內(nèi)經(jīng)過微元六面體的流體質(zhì)量總變化為 (324) 由于流體是作為連續(xù)介質(zhì)來研究的，所以式 (324)所表示的六面體內(nèi)流體質(zhì)量的總變化，唯一的可能是因為六面體內(nèi)流體密度的變化而引起的。因此式 (324)應(yīng)和由于流體密度的變化而產(chǎn)生的六面體內(nèi)的流體質(zhì)量變化相等。 設(shè)開始瞬時流體的密度為 ρ，經(jīng)過 dt時間后的密度為 tzyxvy dddd)( ???? tzyxwz dddd)( ????? ? ? ? ? ? tzyxzwyvxu dddd??????????????? ???ttttzyx d)d,( ????? ??? 則可求出在 dt時間內(nèi)，六面體內(nèi)因密度的變化而引起的質(zhì)量變化為 (325) 根據(jù)連續(xù)性條件，式 (324)和式 (325)應(yīng)相等，經(jīng)簡化得到 (326) 式（ 326）為可壓縮流體非定常三維流動的連續(xù)性方程。 若流體是定常流動，則 ，上式成為 (327) 式（ 327）為可壓縮流體定常三維流動的連續(xù)性方程。 若流體是不可壓縮的，不論是定?；蚍嵌ǔＡ鲃?ρ均 tzyxtzyxzyxtt ddddddddddd ????????????? ????? ? ? ? ? ? 0????????????zwyvxut????0???t?? ? ? ? ? ? 0?????????zwyvxu ??? 為常數(shù)，故式 (327)成為 (328) 式（ 328）為不可壓縮流體三維流動的連續(xù)性的方程。它的物理意義是：在同一時間內(nèi)通過流場中任一封閉表面的體積流量等于零，也就是說，在同一時間內(nèi)流入的體積流量與流出的體積流量相等。 在流體力學(xué)中時常討論所謂平面（二維）流動，即平行任何一個坐標平面的流動。若這種流動的流動參數(shù)（如速度、壓強）只沿 x、 y兩個坐標軸方向發(fā)生變化，則式（ 328）可以寫成 (329) 由于在推導(dǎo)上述連續(xù)性方程時，沒有涉及作用力的問題，所以不論是對理想流體還是實際流體都是適用的。 0????????? zwyvxu0?????? yvxu 二、微元流束和總流的連續(xù)性方程 在工程上和自然界中，流體流動多數(shù)都是在某些周界所限定的空間內(nèi)沿某一方向流動，即一維流動的問題，所謂一維流動是指流動參數(shù)僅在一個方向上有顯著的變化，而在其它兩個方向上的變化非常微小，可忽略不計。例如在管道中流動的流體就符合這個條件。在流場中取一微元流束 (圖 313)。 假定流體的運動是連續(xù)的、定常的，則微元流管的形狀不隨時間而改變。又根據(jù)流管的特性，流體質(zhì)點不能穿過流管表面，因此在單位時間內(nèi)通過微元流管的任一有效截面的流體質(zhì)量都應(yīng)相等，即 ρ1V1dA1= ρ2V2dA2= ρVdA=常數(shù) （ 330） 式中 dA1 、 dA2— 分別為 2兩個有效截面的面積， m2； 圖 313 流場中的微元流束 V1 、 V2— 分別為 dA1和 dA2上的流速，也稱為真實流速， m/s； ρ1 、 ρ2— 分別為和處的流體密度， kg/m3。 對于由無限多微元流束所組成的總流（例如流體在管道中的流動），可對式（ 330）進行積分得 （ 331） 式中 A1 和 A2— 分別為總流 1和 2兩個有效截面的面積。 式（ 331）為一維流動積分形式總流的連續(xù)性方程。設(shè) 和 是總流兩個有效截面 l和 2上的平均流速，則式（ 331）可寫成 (332) 常數(shù)??? ??????AAAAVAVAV ddd21222111 ???1V 2V222111 AVAV ?? ? 式中 ρ1和 ρ2— 分別代表截面和上的平均密度， kg/m3。 式（ 332）表示當(dāng)流動為可壓縮流體定常流體動時，沿流動方向的質(zhì)量流量為一個常數(shù)。 對不可壓縮均質(zhì)流體常數(shù)，則式（ 332）成為 (333) 式（ 333）為不可壓縮流體一維定常流動的總流連續(xù)性方程。該式說明一維總流在定常流動條件下，沿流動方向的體積流量為一個常數(shù)，平均流速與有效截面面積成反比，即有效截面面積大的地方平均流速小，有效截面面積小的地方平均流速就大。 2211 AVAV ? 【 例 34】 假設(shè)有一不可壓縮流體三維流動，其速度分布規(guī)律為） U=3（ x+y3)， v=4y+z2， w=x+y+2z。試分析該流動是否連續(xù)。 【 解 】 根據(jù)式（ 328） 所以 故此流動不連續(xù)。不滿足連續(xù)性方程的流動是不存在的 3???xu 4???yv 2???zw09 ?????????? zwyvxu 【 例 35】 有一不可壓縮流體平面流動，其速度分布規(guī)律為 u=x2siny， v=2xcosy，試分析該流動是否連續(xù)。 【 解 】 根據(jù)式（ 329） 所以 故此流動是連續(xù)的。 yxxu s in2??? yxyv s in2????0)s i n2(s i n2 ????????? yxyxyvxu 【 例 36】 有一輸水管道，如 圖 314所示。水自截面11流向截面 22。測得截面 11的水流平均流速 m/s，已知 d1=， d2=1m，試求截面 22處的平均流速 為多少？ 【 解 】 由式（ 333）得 (m/s) 2?V2V222211 44 dVdV?? ?1 222112 ??????????????????ddVV圖 314 輸水管道 第四節(jié) 理想流體的運動微分方程 在流動的理想流體中，取出一個微元平行六面體的微團，它的各邊長度分別為 dx、 dy和 dz，如 圖 315所示。由于是理想流體，沒有黏性，運動時不產(chǎn)生內(nèi)摩擦力，所以作用在流體微團上的外力只有質(zhì)量力和壓強。該壓強與靜壓強一樣，垂直向內(nèi)，作用在流體微團的表面上。假設(shè)六面體形心的坐標為 x、 y、 z，壓強為 p。 先分析 x方向的運動，在垂直于 x軸的左右兩個平面中心點上的壓強各等于 由于是微元面積，所以這些壓強可以作為各表面上的 2d xxpp???2d xxpp???圖 315 推導(dǎo)歐拉運動微分方程用圖 平均壓強。設(shè)在六面體形心上的單位質(zhì)量的質(zhì)量力分量為fx、 fy和 fz ，則作用在微元平行六面體的流體微團上的質(zhì)量力在軸方向的分量為 fxρ dxdydz 又流體微團的加速度在 x軸上的投影為