【文章內(nèi)容簡介】 輸入信號同規(guī)律變化 ， 也就是說在動態(tài)過程中存在誤差 （ 稱為動態(tài)誤差 ） 。 可見 ， 動態(tài)誤差是由暫態(tài)分量決定的 。 3） 上述概念稱為兩個分量的概念 ， 適合于任何線性定常系統(tǒng) 。 同理 ， 我們可以求出一階系統(tǒng)對單位脈沖函數(shù) 、 單位斜坡函數(shù)和單位拋物線函數(shù)的響應(yīng) ， 見下表 )1(1)( ?? TssG一階系統(tǒng)對典型輸入信號的 響應(yīng) 221tr (t) c(t) δ（ t） 1（ t） t tTeT11 ?tTe 11 ??)1( 1 tTeTt ???)1(21 122 tTeTTtt ?????從表可以看出：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由輸出響應(yīng)的初始條件確定。這一重要特性適用于任何階次的線性定常系統(tǒng) —— 線性定常系統(tǒng)的重要特性 。 一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)指標(biāo) 1. 穩(wěn)定性 一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)是從一個穩(wěn)態(tài)過渡到另一個穩(wěn)態(tài)，因而它是一個絕對穩(wěn)定（簡稱穩(wěn)定）系統(tǒng)。 2. 動態(tài)指標(biāo) 根據(jù)動態(tài)性能指標(biāo)定義 ， 可知一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)沒有超調(diào)量 σ％ 和峰值時間 tp。 調(diào)節(jié)時間 ts T越小 ， 調(diào)節(jié)時間 ts 越小 ， 響應(yīng)過程的快速性也越好 。 ts的取值為： ts＝ 3T ， (對應(yīng) Δ= 5％ 誤差帶 ) ts＝ 4T ， (對應(yīng) Δ= 2％誤差帶 ) 上升時間 tr 3. 穩(wěn)態(tài)指標(biāo) Tttt r ??? tTe ??? tTe ???0)(1 ???? rss ce例 31 一階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如所示 。 試求該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間 ts 。 若要求調(diào)節(jié)時間 ts≤（ 秒 ） ， 試求系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)取何值 ? 解 首先由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求得閉環(huán) 傳遞函數(shù) 由閉環(huán)傳遞函數(shù)得到 T = （ 秒 ） ts = 3T = （ 秒 ） (取 Δ= 5％ 誤差帶 ) 其次 ， 求滿足 ts≤（ 秒 ） 的反饋系數(shù)值 假定反饋系數(shù)為 μ（ μ0），同樣由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求得閉環(huán)傳遞函數(shù) R(S) _ C(S) 一階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 s100 10/1 0 /1 0 0)( )()( ?????? ssssR sCs?/1/1001/100)()()(??????ssssRsCs????由上式閉環(huán)傳遞函數(shù)得到時間常數(shù) T = （秒） 根據(jù)題意要求 ts≤（ 秒 ） ， 則有 t s = 3T = ≤ （ 秒 ） 所以 μ≥ 單位斜波響應(yīng) 由上表可知：單位斜坡函數(shù)是單位階躍函數(shù)的一階積分 。 因此其單位脈沖響應(yīng)是單位階躍響應(yīng)的一階積分 。 c（ t） = （ t – T） + T e – t / T t≥0 響應(yīng)由兩部分組成 。 式中 （ t – T） 和 T e – t / T 分別為系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量 ， 當(dāng) t→ ∞時 ， 暫態(tài)分量衰減到零 。 其斜波響應(yīng)曲線如下圖所示 。 系統(tǒng)響應(yīng)的初始斜率等于 0， 即 01)( 010 ??? ??? ttTt edttdc一階系統(tǒng)在單位斜波輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出 ， 與輸入的斜率相等 ，只是滯后一個時間 T。 顯然一階系統(tǒng)單位斜波響應(yīng)具有穩(wěn)態(tài)誤差 ： 這里 ， 輸入信號 t1（ t） 是輸出量的期望值 。 上式還表明 ，一階系統(tǒng)在跟蹤單位斜波輸入信號時 ， 輸出量與輸入量存在跟蹤誤差 ， 其穩(wěn)態(tài)誤差值與系統(tǒng)的 “ T”的值相等 。 一階系統(tǒng)在跟蹤斜波輸入信號 ， 所帶來的原理上的位置誤差 ， 只能通過減小時間常數(shù) T來降低 ， 而不能最終消除它 。 TeTTtttcte tTttss ??????? ????? ])([lim)]([lim 1 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線 一階系統(tǒng)的單位斜波響應(yīng)曲線應(yīng) 單位脈沖響應(yīng) 由上表可知：單位脈沖函數(shù)是單位階躍函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。因此其單位脈沖響應(yīng)是單位階躍響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)： c（ t） =（ 1/T） e – t / T t≥0 單位拋物線響應(yīng) 由上表可知：單位拋物線函數(shù)是單位階躍函數(shù)的二階積分 。 因此其單位脈沖響應(yīng)是單位階躍響應(yīng)的二階積分： c（ t） = t2–Tt + T2（ 1–e – t / T ） t≥0 上式表明 ， 當(dāng)時間 t→ ∞時 ， 系統(tǒng)輸出信號與輸入信號之差將趨于無窮大 。 這說明對于一階系統(tǒng)是不能跟蹤單位拋物線函數(shù)輸入信號的 。 二階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng) 凡是由二階微分方程描述的系統(tǒng) ， 稱為二階系統(tǒng) 。 在控制工程中的許多系統(tǒng)都是二階系統(tǒng) ， 如電學(xué)系統(tǒng) 、 力學(xué)系統(tǒng)等 。 即使是高階系統(tǒng) ， 在簡化系統(tǒng)分析的情況下有許多也可以近似成二階系統(tǒng) 。 因此 ， 二階系統(tǒng)的性能分析在自動控制系統(tǒng)分析中有非常重要的地位 。 一 、 二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 示例： 某位置隨動系統(tǒng)的任務(wù)是 ， 控制一個轉(zhuǎn)動負(fù)載 ， 使負(fù)載的位置 θ c 與輸入手柄位置 θ r同步 。 該負(fù)載具有粘性摩擦系數(shù) ?L和轉(zhuǎn)動慣量 JL。 該位置隨動系統(tǒng)的運動方程式為： 式中 c(t) =θ c , r(t) =θ r ； K—— 系統(tǒng)開環(huán)放大倍數(shù)； TM—— 執(zhí)行電動機的時間常數(shù) 。 )()()()(22 trKtcKdt tdcdt tcdT M ???位置隨動系統(tǒng)原理圖 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 為了分析方便，常把二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即 式中： ， 2ξωn = 1 / TM 或 稱 ωn為固有 （ 自然 ） 頻率 ， 或無阻尼振蕩頻率；稱 ξ為阻尼比或相對阻尼系數(shù) 。 下面可以看出二階系統(tǒng)及其響應(yīng)都可以用 ωn和 ξ這兩個參數(shù)加以描述 。 KSTS KSR SCS M ???? )1()( )()(?C(S) R(S) _ 位置隨動系統(tǒng)方塊圖 )1( ?STSKM2222)()()(nnnSSSRSCS?????????Mn TK??MTK21??二 、 典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 設(shè)初始條件為零 。 當(dāng)輸入量為單位階躍函數(shù)時 ， 輸出量的拉氏變換式為 系統(tǒng)的特征方程為 特征根分別為 (ξ = 0 )狀態(tài) 系統(tǒng)特征根為： s1， s2在 s平面位置如下圖所示 ， 其輸出量的拉氏變換式 ssssRssC nnn 12)()()( 222????? ?????02 22 ??? nn ss ???122,1 ???? ???? nnsnjs ???2,12222 11)()()(nnnssssssRssC ???????????上式兩邊取拉氏反變換，可得 : c（ t） =1–cosωn t t≥0 無阻尼時二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為等幅正弦振蕩曲線 ， 振蕩角頻率為 ωn 。 ξ = 0時特征根 ξ = 0時 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 2. 欠阻尼 ( 0 ξ 1 ) 狀態(tài) 系統(tǒng)特征根為 : 輸出量的拉氏變換式 式中 —阻尼振蕩角頻率。 上式兩邊取拉氏反變換，可得 21 1 ???? ???? nn js 22 1 ???? ???? nn js222222 2112)()()( nn nnnn ss ssssssRSSC ??? ??????? ?? ????????2222222222)()(1)1()()1()(1dnddndnnnnnnnnssssssss???????????????????????????????????????????21 ??? ?? nd 式中 從上式可以看出 ， 對應(yīng)欠阻尼 （ 0＜ ξ＜ 1） 時二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為衰減的正弦振蕩曲線 ， 其衰減速度取決于 ξωn值的大小 ， 其衰減振蕩的頻率便是阻尼振蕩角頻率 ωd 。 當(dāng) t→ ∞時 ， 動態(tài)分量衰減到零 ， 輸出量等于輸入量 ， c（ ∞） = 1。 )s i n1c os(1)(2ttetc ddtn ?????????? ?)1a r c t a ns in (1122 ?????? ??????te dtn0)s in (11 2 ??????tte dtn???????? 21a r c ta n ?? 0ξ 1時特征根 0ξ 1時 二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線 c(t) 0 t 1 c(t) r(t) 暫態(tài)分量是一個按指數(shù)曲線衰減的正弦振蕩表達式 ， 因此 ， 該環(huán)節(jié)在 時 ， 具有振蕩的特點 ， 稱為振蕩環(huán)節(jié) 。 是一條指數(shù)衰減曲線 ， 它是二階系統(tǒng)欠阻尼單位階躍響應(yīng)曲線的包絡(luò)線 （ Envelope） 。 ζωn的大小直接反映了正弦幅值衰減的快慢 ， 因而 ， 稱其為衰減系數(shù) 。 ωd是正弦振蕩的頻率 ， 因與阻尼有關(guān) ， 所以稱為有阻尼自然振蕩角頻率（ Damped Frequency） 。 β稱為阻尼角 （ Damped Angle） 。 從系統(tǒng)響應(yīng)表達式來看 ， 它由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量組成 。 穩(wěn)態(tài)分量為 1， 穩(wěn)態(tài)誤差為零 。 暫態(tài)分量是一個按指數(shù)曲線衰減的正弦振蕩表達式 。 10 ???21 ??? ?? tne3. 臨界阻尼 (ξ = 1 ) 狀態(tài) 系統(tǒng)特征根為： 輸出量的拉氏變換式 ： 上式兩邊取拉氏反變換，可得： 系統(tǒng)特征根分布和其響應(yīng)曲線分別如下圖中 ξ= 1的曲線所示 。 可以看出 ， 階躍響應(yīng)曲線是單調(diào)上升的 ， 且穩(wěn)態(tài)值為 1， 這一特點與一階系統(tǒng)相同 。因而 ， 它是一個穩(wěn)定的無差系統(tǒng) 。 一階系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線的斜率在 t=0處最大 ， 并逐漸遞減至零；而二階臨界阻尼響應(yīng)曲線的斜率為： ns ???2,1)(1)(112)()()( 2222nnnnnnssssssSRSSC ?????????????????0)1(1)( ???? ? ttetc ntn ??tnr ntedttdc ?? ?? 2)(對上式求導(dǎo)可知，響應(yīng)曲線斜率的最大值 出現(xiàn)在 處。 由此可知二階阻尼響應(yīng)曲線斜率由零逐漸增大到最大值 ， 然后再逐漸減小到零 ， 曲線形狀呈 S形 。 根據(jù)上升時間的定義 ， 可計算出 tr= 。 根據(jù)建立時間的定義 ， 可計算出 δ為 時的建立時間分別為 。 顯然其建立時間比一階系統(tǒng)長 。 如果已知二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線 ， 可用下述方法判斷是否為臨界阻尼狀態(tài)：首先 ， 響應(yīng)曲線必須為 S形 。 其次 ， 采用兩點法進行判斷 。 所謂兩點法就是測量響應(yīng)曲線 c（ t） 值分別為 處所對應(yīng)的時間 t1和 t2。 當(dāng) t1/t2 = 時 ， 即可判定為臨界阻尼狀態(tài) ， 且 。 1?en? Tt n ?? ?1)( 21 ttT