【文章內(nèi)容簡介】 . ? ? 第一章 矩陣 167。 方陣的行列式 例 12. 設 D = a11 … a1m am1 … amm D1 = … … , 證明 : D = D1D2. 證明 : 對 D1施行 ci+kcj 這類運算 , 把 D1化為下三 角形行列式 : = p11 pm1 … pmm … . . . = p11 … pmm , b11 … b1n bn1 … bnn D2 = , … … a11 … a1m 0 … 0 … … … … … … … … , am1 … amm 0 … 0 c11 … c1m b11 … b1n 1 … m bn1 … bnn a11 … a1m am1 … amm D1 = … … ? ? 第一章 矩陣 167。 方陣的行列式 對 D2施行 ci+kcj 這類運算 , 把 D2化為下三角形行列式 : b11 … b1n bn1 … bnn D2 = … … = q11 qn1 … qnn … . . . = q11 … qnn , 于是對 D的前 m列施行上述 ci+kcj 運算 , 再對 D的后 n列 施行上述施行 ci+kcj 運算 , 可得 : = p11 … pmm q11 … qnn =D1D2. a11 … a1m 0 … 0 … … … … … … … … D = am1 … amm 0 … 0 c11 … c1m b11 … b1n 1 … m bn1 … bnn . p11 pm1 … pmm … … … … = . . 0 dn1 … dnm qn1 … qnn d11 … d1m q11 . . . ? ? 第一章 矩陣 167。 方陣的行列式 性質(zhì) 4. 設 A, B為同階方陣 , 則 |AB| = |A||B|. 性質(zhì) 5. |AT| = |A| . 注 : 根據(jù)方陣的性質(zhì) 5, 前面幾條關(guān)于 列 的 性質(zhì)可以翻譯到 行 的情形 . 例如 : 性質(zhì) 1’. 互換行列式中的兩 行 , 行列式變號 . A. L. Cauchy[法 ] (~) ? ? 第一章 矩陣 167。 方陣的行列式 定理 . n階行列式 D等于它的任意一行 (列 ) 的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積 之和 . 即 D = a11A11 + a12A12 + … + a1nA1n = a21A21 + a22A22 + … + a2nA2n = … = an1An1 + an2An2 + … + annAnn = a11A11 + a21A21 + … + an1An1 = a12A12 + a22A22 + … + an2An2 = … = a1nA1n + a2nA2n + … + annAnn . ? ? 第一章 矩陣 167。 方陣的行列式 性質(zhì) 6. ai1Aj1 + ai2Aj2 + … + ainAjn = 0 (i ? j) a1iA1j + a2iA2j + … + aniAnj = 0 (i ? j). 定理 D = |[aij]|, 則 ? aikAjk = D?ij , k=1 n ? akiAkj = D?ij . k=1 n 注 : 克羅內(nèi)克記號 ?ij = 1, i = j, 0, i ? j. L. Kronecker[德 ] (~) ? ? 第一章 矩陣 167。 方陣的行列式 三 . 行列式的計算 1. 二 , 三階行列式 —對角線法則 . 2. 利用初等變換化為三角形 . (其中 n ? 2,x ? a). Dn= x a … a a x … a … … … a a … x 例 13. 計算 n階行列式 ? ? 第一章 矩陣 167。 方陣的行列式 Dn= x a … a a x … a … … … a a … x x+(n?1)a a … a x+(n?1)a x … a … … … x+(n?1)a a … x = 解 : … (?1) … x+(n?1)a a a … a a 0 x?a 0 … 0 0 0 0 x?a … 0 0 … … … … … … 0 0 0 … x?a 0 0 0 0 … 0 x?a = = [x+(n?1)a](x?a)n?1. ? ? 第一章 矩陣 167。 方陣的行列式 3. 按某一行 (列 )展開 —降階 . 4. 遞推 /歸納 . (未寫出的元素都是 0). 例 14. 計算 2n階行列式 D2n = a b a b c d c d ? ? 第一章 矩陣 167。 方陣的行列式 解 : D2n= = a . . . . . . . . . . . . a a b b 0 c c 0 d d 0 0 d . . . … . . . . . . . . . . . . 0 a a b b c 0 c c 0 d d 0 . . . … +(?1)2n+1b . . . . . . . . . . . . a 0 0 a a b c d d 0 0 d . . . … 0 b b 0 0 c c 0 … . . . . . . . . . … … ? ? 第一章 矩陣 167。 方陣的行列式 = a . . . . . . . . . . . . a a b b 0 c c 0 d d 0 0 d . . . … . . . . . . . . . . . . 0 a a b b c 0 c c 0 d d 0 . . . … +(?1)2n+1b = ad D2(n?1) ? bc D2(n?1) = (ad ? bc) D2(n?1) = (ad ? bc)2D2(n?2) = (ad ? bc)3D2(n?3) = … = ( ad ? bc)n?1 D2 = (ad ? bc)n. ? ? 第一章 矩陣 167。 方陣的行列式 例 15. 證明 n階級 (n?2)范德蒙德行列式 Dn = 1 1 … 1 a1 a2 … an a12 a22 … an2 … … … … a1n1 a2n1 … an n1 = ? (ai? aj). n? i j ? 1 AlexandreTh233。ophile Vandermonde Born: 28 Feb 1735 in Paris, France Died: 1 Jan 1796 in Paris, France ? ? 第一章 矩陣 167。 方陣的行列式 = 1 1 1 … 1 0 a2?a1 a3?a1 … an ? a1 0 a2(a2?a1) a3(a3?a1) … an2 (an?a1) … … … … … 0 a2n2(a2?a1) a3n2(a3?a1) … ann2(an?a1) 現(xiàn)設等式對于 (n?1)階范德蒙德行列式成立 , 則 證明 : 當 n =2時 , D2 = (a2? a1). Dn = 1 1 … 1 a1 a2 … an a12 a22 … an2 … … … … a1n1 a2n1 … an n1 ? (? a1) ? (? a1) ? (? a1) … ? ? 第一章 矩陣 167。 方陣的行列式 = (a2?a1)(a3?a1)…( an?a1)