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正文內(nèi)容

統(tǒng)計預(yù)測與決策教案(編輯修改稿)

2025-05-21 22:57 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 計值為Y的線性組合。2.估計值是回歸系數(shù)向量B的無偏估計量?;貧w系數(shù)向量估計值的數(shù)學(xué)期望   =  ?。健  。剑剑隆                    】梢娛牵碌臒o偏估計。3.回歸系數(shù)向量估計值具有最小方差性回歸系數(shù)向量估計值的協(xié)方差因?yàn)椋剑隆    。焦剩? = = = 式中矩陣主對角線上的元素為回歸系數(shù)向量估計值的方差,其余元素為回歸系數(shù)向量估計值的協(xié)方差??梢宰C明,回歸系數(shù)向量估計值具有最小方差性,此處從略 多元線性回歸模型的檢驗(yàn) ? 常用的檢驗(yàn)方法有? ? ? 3. t檢驗(yàn)法? 。 在建立多元線性回歸模型的過程中,為進(jìn)一步分析回歸模型所反映的變量之間的關(guān)系是否符合客觀實(shí)際,引入的影響因素是否有效,同樣需要對回歸模型進(jìn)行檢驗(yàn)。R檢驗(yàn)法是通過復(fù)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)一組自變量與因變量y之間的線性相關(guān)程度的方法,又稱復(fù)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法。與一元線性回歸模型類似,可以通過對總變差的分解   得到多元線性回歸模型之R2的計算公式。上式右邊的第二項(xiàng)稱為回歸變差(或稱回歸平方和),回歸平方和反映了與之間的變差,這一變差由自變量的變動而引起,是總變差中由自變量解釋的部分,它的大小反映了自變量的重要程度;等式右邊的第一項(xiàng)稱為剩余變差(或稱殘差平方和),它是由觀測或?qū)嶒?yàn)中產(chǎn)生的誤差以及其他未加控制的因素引起的,反映的是總變差中未因變量解釋的部分。即總變差=剩余變差+回歸變差與一元回歸分析一樣,也可以利用在總離差中所占的比重表示多元線性回歸模型的復(fù)可決系數(shù)。       它可以用來衡量因變量與自變量之線性相關(guān)關(guān)系的密切程度?!                》Q為復(fù)相關(guān)系數(shù)。這里說明在y的總變差中,由一組自變量變動所引起的變差所占的百分比;R則描述一組自變量與因變量y之間的線性相關(guān)程度。它們所體現(xiàn)是一組自變量對因變量的影響程度及其線性相關(guān)程度,所以,這里分別稱它們?yōu)閺?fù)可決系數(shù)和復(fù)相關(guān)系數(shù)。與相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法一樣,復(fù)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法的步驟為:(1)計算復(fù)相關(guān)系數(shù);(2)根據(jù)回歸模型的自由度n-m和給定的顯著性水平值,查相關(guān)系數(shù)臨界值表;(3)判別。在實(shí)際工作中,復(fù)相關(guān)系數(shù)的計算常用其簡捷形式,如對于二元和三元的情形,其簡捷形式分別如式所示:     由于是一個隨自變量個數(shù)增加而遞增的增函數(shù),所以,當(dāng)我們對兩個具有不同自變量個數(shù)但性質(zhì)相同的回歸模型進(jìn)行比較時,就不能只用作為評價回歸模型優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn),還必須考慮回歸模型所包含的自變量個數(shù)的影響。因此,就需要定義一個經(jīng)過校正的,記為:        這里,n-m是剩余變差的自由度,n-1是總變差的自由度。由此可見,中體現(xiàn)了自變量個數(shù)m的影響。根據(jù)上式可得與之間的關(guān)系式如下: =1-(1-)       從式可以看出:(1)當(dāng)m1時。說明中包含了自變量個數(shù)的影響,隨著自變量個數(shù)的增加,總是小于。(2)盡管總是非負(fù)的,但卻可能為負(fù)。若遇到為負(fù)數(shù)的情況,取值為零。2.F檢驗(yàn)F檢驗(yàn)是通過F統(tǒng)計量檢驗(yàn)假設(shè):是否成立的方法。(1)F統(tǒng)計量。          式中的m-1是回歸變差的自由度,n-m是剩余變差的自由度??梢宰C明F統(tǒng)計量服從第一自由度為m-1,第二自由度為n-m的F分布。故對給定的顯著性水平,查F分布表可得臨界值。若F則否定假設(shè),認(rèn)為一組自變量與因變量y之間的回歸效果顯著;反之,則不顯著。一般來講,回歸效果不顯著的原因有以下幾種:① 影響y的因素除了一組自變量之外,還有其他不可忽略的因素;② y與一組自變量之間的關(guān)系不是線性的;③ y與一組自變量之間無關(guān)。這時,回歸模型就不能用來預(yù)測,應(yīng)分析其原因另選自變量或改變模型的形式。(2)F統(tǒng)計量與可決系數(shù)、相關(guān)系數(shù)的關(guān)系。從式中我們可以推導(dǎo)出三者的關(guān)系:                  同樣,F分布的臨界值與相關(guān)系數(shù)臨界值也具有上述等式關(guān)系。3.t檢驗(yàn)前述的R檢驗(yàn)和F檢驗(yàn)都是將所有的自變量作為一個整體來檢驗(yàn)它們與因變量y的相關(guān)程度以及回歸效果,而t檢驗(yàn)則是通過t統(tǒng)計量對所求回歸模型的每一個系數(shù)逐一檢驗(yàn)假設(shè):是否成立的方法。(1)t統(tǒng)計量         式中為第j個自變量的回歸系數(shù);是的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。(2)t檢驗(yàn)的步驟①計算估計標(biāo)準(zhǔn)誤差對于二元和三元情形,估計標(biāo)準(zhǔn)誤差的簡捷公式分別為      ?、谟嬎銟颖緲?biāo)準(zhǔn)差,由式可知           式中為矩陣主對角線上的第j個元素。③ 計算t統(tǒng)計量④ 建立假設(shè):若成立,則否定假設(shè),說明對y有顯著影響;反之假設(shè)成立,被接受,說明對y無顯著影響,則應(yīng)刪除該因素。4.DW檢驗(yàn)(1)序列相關(guān)的概念及對回歸模型的影響序列相關(guān)是指數(shù)列的前后期相關(guān)。這里講的前后期相關(guān),可以是只與前一期相關(guān),也可以與前若干期都相關(guān)。最常見的是時差為一期的序列相關(guān),又稱一階自相關(guān)。回歸模型假設(shè)隨機(jī)誤差項(xiàng)之間不存在序列相關(guān)或自相關(guān),即互不相關(guān)。若回歸模型不滿足這一假設(shè),則稱回歸模型存在自相關(guān),這時,若我們繼續(xù)使用最小二乘法估計參數(shù),將可能產(chǎn)生下列嚴(yán)重后果:①估計標(biāo)準(zhǔn)誤差S可能嚴(yán)重低估的真實(shí)值;②樣本方差可能嚴(yán)重低估的真實(shí)值;③估計回歸系數(shù)可能歪曲的真實(shí)值;④通常的F檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)將不再有效;⑤根據(jù)最小二乘估計量所作的預(yù)測將無效。(2)DW檢驗(yàn)法在序列相關(guān)中,最常見的是一階自相關(guān),最常用的檢驗(yàn)方法是DW檢驗(yàn)法(DurbinWatson準(zhǔn)則)。定義DW統(tǒng)計量為:             其中:,是的估計量;因?yàn)榈淖畛跣蛱柋仨毷牵?,所以分子求和公式必須從2開始。將式展開,得:          在大樣本情況下,即n30,可以認(rèn)為,所以上式可以寫成:        是與的相關(guān)系數(shù)的估計量。當(dāng)與正相關(guān)時,;當(dāng)與負(fù)相關(guān)時,;若不存在自相關(guān)或相關(guān)程度很小時。從式(可以看出,DW值在0~4之間。根據(jù)DW統(tǒng)計量,檢驗(yàn)?zāi)P褪欠翊嬖谧韵嚓P(guān),其步驟如下:①利用最小二乘法求回歸模型及殘差;②計算DW統(tǒng)計量;③確立假設(shè),即假定回歸模型不存在自相關(guān);④根據(jù)給定的檢驗(yàn)水平及自變量個數(shù)m從DW檢驗(yàn)表中查得相應(yīng)臨界值。,DW檢驗(yàn)的最大弊端是存在著無結(jié)論區(qū)域。無結(jié)論區(qū)域的大小與樣本容量n和自變量個數(shù)m有關(guān),當(dāng)n一定時,m愈大,無結(jié)論區(qū)域也愈大;當(dāng)m一定時,n愈大,無結(jié)論區(qū)域就愈小。如果計算的DW統(tǒng)計量落到了無結(jié)論區(qū)域,那么,決策者就不能作出回歸模型是否存在自相關(guān)現(xiàn)象的結(jié)論。在這種情況下,解決的辦法是:(I)增加樣本容量,重新計算DW統(tǒng)計量,再進(jìn)行檢驗(yàn);(II)調(diào)換樣本,利用新的樣本計算DW統(tǒng)計量,然后再進(jìn)行檢驗(yàn);(III)利用其他方法進(jìn)行自相關(guān)性檢驗(yàn)。 DW檢驗(yàn)判別表     ?。模字怠  z驗(yàn)結(jié)果4dL﹤DW﹤40﹤DW﹤dLdu﹤DW﹤4 dudL﹤DW﹤du4-du﹤DW﹤4 dL否定假設(shè),出現(xiàn)負(fù)自相關(guān)否定假設(shè),出現(xiàn)正自相關(guān)接受假設(shè),不存在自相關(guān)檢驗(yàn)無結(jié)論檢驗(yàn)無結(jié)論將上面DW檢驗(yàn)判別表繪成圖形如圖所示?! ?  f(d)         無自相關(guān)                  正   無             無    負(fù)         自   結(jié)             結(jié)    自         相   論             論    相         關(guān)   域             域    關(guān) d       ?。啊? dL dU 2 4-dU 4-dL 4  DW檢驗(yàn)判別域(3)產(chǎn)生自相關(guān)的原因及補(bǔ)救辦法。當(dāng)檢驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)0﹤DW﹤dL和4dL﹤DW﹤4情況時,說明隨機(jī)誤差項(xiàng)相互獨(dú)立的假設(shè)不能成立,回歸模型存在自相關(guān)。在實(shí)際預(yù)測中,產(chǎn)生自相關(guān)的原因可能是:①忽略了某些重要的影響因素。由于許多經(jīng)濟(jì)變量往往存在自相關(guān),把它們忽略之后,其影響將在誤差項(xiàng)中反映出來。②錯誤地選用了回歸模型的數(shù)學(xué)形式。如果回歸模型的數(shù)學(xué)形式與所研究的變量之間的真實(shí)關(guān)系形式不一致,則值在時間上有可能相關(guān)。③隨機(jī)誤差項(xiàng)本身的確存在自相關(guān)。例如:戰(zhàn)爭、自然災(zāi)害或某些政策對一些經(jīng)濟(jì)變量的影響是有后效的,所以隨機(jī)因素本身可能存在自相關(guān)。針對上述三種情況,合適的補(bǔ)救辦法是:①把略去的重要影響因素引入回歸模型中來;②重新選擇回歸模型的形式;③增加樣本容量,改善數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性。 預(yù)測區(qū)間與一元回歸模型相似,多元回歸模型的預(yù)測值和預(yù)測區(qū)間計算步驟如下:(1)計算估計標(biāo)準(zhǔn)誤差(2)記預(yù)測點(diǎn)為,則預(yù)測值為:預(yù)測誤差的樣本方差為 (3)當(dāng)預(yù)測值的顯著性水平為時,多元線性回歸模型的預(yù)測區(qū)間為: ,n﹤30       ,      由于這里的是一個影響因素數(shù)據(jù)向量,按公式()計算較為復(fù)雜,故在實(shí)際預(yù)測中,一般運(yùn)用S代替近似地估計預(yù)測區(qū)間。 應(yīng)用實(shí)例 某快遞服務(wù)公司的經(jīng)理經(jīng)過分析,認(rèn)為雇員承擔(dān)的業(yè)務(wù)次數(shù)及投遞行程距離對工作時間有影響。對于如表所示給出的工作時間、投遞行程距離及業(yè)務(wù)次數(shù)的數(shù)據(jù),試配合適當(dāng)?shù)幕貧w方程并進(jìn)行各種檢驗(yàn);取顯著性水平=,當(dāng)投遞行程距離為60公里, 業(yè)務(wù)次數(shù)為2次時,試估計雇員工作時間的預(yù)測區(qū)間。解:1.設(shè)工作時間為y,投遞行程距離為,業(yè)務(wù)次數(shù)為,并假設(shè)y與之間存在線性關(guān)系。表 多元線性回歸方程計算表編號工作時間為y投遞行程距離為業(yè)務(wù)次數(shù)為11004100001640093025032500915024031004100001640089041002100004200650135502250041002106802640041604967753562592255558665442251626039024369903810092706841090281004180549合計67800296745091234555942.建立二元線性回歸方程3.計算回歸系數(shù)列表計算有關(guān)數(shù)據(jù),由計算結(jié)果得:==   ?。?=  ===4.R檢驗(yàn)== 當(dāng)=,時,說明相關(guān)關(guān)系顯著。=1-(1-)=1-(1-)= 5.F檢驗(yàn) 當(dāng)時,說明回歸效果非常顯著。6.t檢驗(yàn)根據(jù)的計算有===========-==當(dāng)=,因?yàn)榈慕^對值均大于,故拒絕假設(shè),和。據(jù)此,可以斷言:投遞行程距離和投遞業(yè)務(wù)次數(shù)對該公司雇員工作時間有顯著影響。7.DW檢驗(yàn)?。模讬z驗(yàn)計算表編號1-23456786910合計67 =當(dāng)=,時,查DW檢驗(yàn)表,因DW檢驗(yàn)表中,樣本容量最低是15,故?。海颍模捉y(tǒng)計量滿足DW=4-=表明回歸模型不存在自相關(guān)。綜合上述模型估計和各項(xiàng)檢驗(yàn)結(jié)果可以認(rèn)為:    ++(-) () () 是一個較為優(yōu)良的回歸模型,可以用來預(yù)測。8.預(yù)測區(qū)間設(shè)預(yù)測點(diǎn)為,則其預(yù)測值為:(小時)預(yù)測區(qū)間為==即:當(dāng)業(yè)務(wù)次數(shù)為2次,投遞行程距離為60公里時,有95%~。 虛擬變量回歸預(yù)測 1.虛擬變量品質(zhì)變量不像數(shù)量變量那樣表現(xiàn)為具體的數(shù)值。它只能以品質(zhì)、屬性、種類等形式來表現(xiàn)。要在回歸模型中引入此類品質(zhì)變量,必須首先將具有屬性性質(zhì)的品質(zhì)變量數(shù)量化。通常的做法是令某種屬性出現(xiàn)對應(yīng)于1,不出現(xiàn)對應(yīng)于0。這種以出現(xiàn)為1,未出現(xiàn)為0形式表現(xiàn)的品質(zhì)變量,就稱為虛擬變量。2.帶虛擬變量的回歸模型 常見的帶虛擬變量的回歸模型有以下三種形式: (1) 反映政府政策變化或某種因素發(fā)生重大變異的跳躍、間斷式模型。其模型的形式為       式中為因變量,為自變量,為虛擬變量,設(shè)為觀測值出現(xiàn)重大變異的年份,則的取值為:式定義的多元線性回歸模型可以寫成分段形式:其變化趨勢如圖所示?!                                ?                       (2)具有轉(zhuǎn)折點(diǎn)的系統(tǒng)趨勢變化模型,其模型的形式為:          式中:為虛
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