【文章內(nèi)容簡介】 （－∞，－2].39. （2010遼寧文21，構(gòu)造變形，二次）已知函數(shù).⑴討論函數(shù)的單調(diào)性； K^S*⑵設(shè)，證明：對任意，.解：⑴ f(x)的定義域為(0,+)，.當(dāng)a≥0時，＞0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；當(dāng)a≤－1時，＜0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；當(dāng)－1＜a＜0時，令＝0,解得x=.當(dāng)x∈(0, )時, ＞0；x∈(，+)時，＜0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.⑵不妨假設(shè)x1≥≤－2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價于≥4x1－4x2,即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4＝.設(shè)，≤－1，對稱軸為，結(jié)合圖象知≤≤0，于是≤＝≤0.從而g(x)在（0,+）單調(diào)減少，故g(x1) ≤g(x2)，即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故對任意x1,x2∈(0,+) ，40. （遼寧，變形構(gòu)造，二次）已知函數(shù)f(x)=x2－ax+(a－1)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）證明：若，則對任意x,x，xx，有.解：(1)的定義域為.①若即,則，故在單調(diào)增加。②若,而,故,則當(dāng)時。當(dāng)及時，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。③若,即,同理在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.⑵考慮函數(shù) 則（另一種處理）由于1a5,故，即g(x)在(4, +∞)單調(diào)增加，從而當(dāng)時有，即，故，當(dāng)時，有.（另一種處理），結(jié)合二次函數(shù)圖象設(shè)≥≥＞041. 已知函數(shù)（1）確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意，且，都有，求實數(shù)a的取值范圍。42. （變形構(gòu)造）已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)”（、），(I)證明：只要，無論取何值，函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；(II)在二次函數(shù)圖象上任意取不同兩點，線段中點的橫坐標(biāo)為，記直線的斜率為， (i)求證：；(ii)對于“偽二次函數(shù)”，是否有①同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論. 解：（I）如果為增函數(shù),則(1)恒成立, 當(dāng)時恒成立, (2) 由二次函數(shù)的性質(zhì), (2). 3分（II）（i） =. 由, 則5分（ii）不妨設(shè),對于“偽二次函數(shù)”: =, (3) 7分由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性質(zhì)，則 , (4) 比較(3)( 4)兩式得，即：，(4) 10分不妨令， (5)設(shè)，則， ∴在上遞增， ∴. ∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,. ∴“偽二次函數(shù)”不具有(ⅰ)的性質(zhì). 12分43. (變形構(gòu)造，第2問用到均值不等式)已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)＝x2＋4ax＋1，g(x)＝6a2lnx＋2b＋1，其中a＞0.⑴設(shè)兩曲線y＝f(x)，y＝g(x)有公共點，且在該點處的切線相同，用a表示b，并求b的最大值；⑵設(shè)h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，證明：若a≥－1，則h(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增；⑶設(shè)F(x)＝f(x)＋g(x)，求證：對任意x1,x2∈(0,＋∞)，x1＜x2有＞8.解：⑴設(shè)f(x)與g(x)交于點P(x0，y0)，則有f(x0)＝g(x0)，即x＋4ax0＋1＝6a2lnx0＋2b＋1.①又由題意知f′(x0)＝g′(x0)，即2x0＋4a＝.②由②解得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．將x0＝a代入①整理得b＝a2－3a2lna.令s(a)＝a2－3a2lna，則s′(a)＝2a(1－3lna)，a∈(0,)時，s(a)遞增，a∈(,＋∞)時，s(a)遞減，所以s(a)≤s()＝，即b≤，b的最大值為.⑵h(x)＝f(x)＋g(x)－8x，h′(x)＝2x＋＋4a－8，因為a≥－1，所以h′(x)＝2x＋＋4a－8≥4a＋4a－8≥4(＋1)(－1)－8≥0，即h(x)在(0,＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．⑶由⑵知x1＜x2時，h(x1)＜h(x2)，即F(x1)－8x1＜F(x2)－8x2.因為x1＜x2，所以＞8.44. 已知函數(shù)，a為正常數(shù)．⑴若，且a，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；⑵在⑴中當(dāng)時，函數(shù)的圖象上任意不同的兩點，線段的中點為，記直線的斜率為，試證明：．⑶若，且對任意的，都有，求a的取值范圍．解：⑴∵a，令得或,∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.⑵證明：當(dāng)時∴, ∴,又不妨設(shè) ， 要比較與的大小，即比較與的大小，又∵，∴ 即比較與的大?。? 令,則,∴在上位增函數(shù)．又，∴， ∴，即⑶∵ ，∴ 由題意得在區(qū)間上是減函數(shù)． 當(dāng)， ∴ 由在恒成立．設(shè)，則∴在上為增函數(shù)，∴. 當(dāng)，∴ 由在恒成立設(shè)，為增函數(shù),∴綜上：a的取值范圍為.45. 已知函數(shù)（）． （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）記函數(shù)的圖象為曲線．設(shè)點,是曲線上的不同兩點．如果在曲線上存在點，使得：①；②曲線在點處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”．試問：函數(shù)是否存在“中值相依切線”，請說明理由．解：（Ⅰ）易知函數(shù)的定義域是， ．…………1分 ①當(dāng)時，即時, 令,解得或。 令,解得．……………2分 所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減 ②當(dāng)時，即時, 顯然，函數(shù)在上單調(diào)遞增；……………3分 ③當(dāng)時，即時, 令,解得或。 令,解得．……………4分 所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減綜上所述，⑴當(dāng)時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；⑵當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增；⑶當(dāng)時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．……………5分（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”． 設(shè),是曲線上的不同兩點，且， 則 ……………7分 曲線在點處的切線斜率，……………8分依題意得：．化簡可得： ，即=． ……………10分 設(shè) （），上式化為：, 即． ………12分 令,． 因為,顯然，所以在上遞增,顯然有恒成立． 所以在內(nèi)不存在,使得成立． 綜上所述，假設(shè)不成立．所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”．……………14分46. 已知函數(shù).（1）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，若，求證解：（1）,，即在上恒成立設(shè),，時，單調(diào)減，單調(diào)增，所以時，有最大值.，所以.（2）當(dāng)時，,所以在上是增函數(shù)，上是減函數(shù).因為，所以即,同理.所以又因為當(dāng)且僅當(dāng)“”時，取等號.又，,所以,所以，所以：.47. 已知．(1) 求函數(shù)在上的最小值；(2) 對一切，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3) 證明: 對一切，都有成立．解： (1) ，當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增．① ，t無解；② ，即時，；③ ，即時，在上單調(diào)遞增，；所以． (2)，則，設(shè)，則，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，恒成立，所以；（3） 問題等價于證明，由⑴可知的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時取到，設(shè)，則，易得，當(dāng)且僅當(dāng)時取到，從而對一切，都有成立．48. （2011陜西21，變形構(gòu)造，反比例）設(shè)函數(shù)定義在上，導(dǎo)函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論與的大小關(guān)系；（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出 的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：（1）∵，∴（為常數(shù)），又∵，所以，即，∴；，∴，令，即，解得，當(dāng)時，是減函數(shù)，故是函數(shù)的減區(qū)間；當(dāng)時，是增函數(shù)，故是函數(shù)的增區(qū)間；所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以的最小值是．（2），設(shè)，則，當(dāng)時，即，當(dāng)時，，因此函數(shù)在內(nèi)遞減，當(dāng)時，=0，∴；當(dāng)時，=0，∴． （3）滿足條件的不存在．證明如下：證法一 假設(shè)存在，使對任意成立，即對任意有 ①但對上述的，取時，有，這與①左邊的不等式矛盾，因此不存在，使對任意成立．證法二 假設(shè)存在，使對任意成立，由（1）知，的最小值是，又，而時，的值域為，∴當(dāng)時，的值域為，從而可以取一個值，使，即,∴，這與假設(shè)矛盾．∴不存在，使對任意成立．49. 已知函數(shù)，（Ⅰ）求的極值（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范圍（Ⅲ）已知，且，求證解：（1）∵，令得 ，為增函數(shù)，，為減函數(shù)∴有極大值 ……………………4分（2）欲使＜在上恒成立， 只需 在上恒成立設(shè)，，為增函數(shù),，為減函數(shù)∴時，是最大值 只需，即………8分 （3）∵由（2）可知在上單調(diào)增， ，那，同理相加得 ，∴， 得： .50. 已知函數(shù)的圖象為曲線, 函數(shù)的圖象為直線.(Ⅰ) 當(dāng)時, 求的最大值。(Ⅱ) 設(shè)直線與曲線的交點的橫坐標(biāo)分別為, 且, 求證: .解：（1） 單調(diào)遞增，單調(diào)遞減， （2）不妨設(shè)，要證只需證 ，即，令，只需證， 令 在單調(diào)遞增。 ，在單調(diào)遞增。，所以51. 已知函數(shù)，其中常數(shù)⑴若處取得極值，求a的值； ⑵求的單調(diào)遞增區(qū)間；⑶已知若，且滿足，試比較的大小，并加以證明。替換構(gòu)造不等式證明不等式52. （第3問用第2問）已知，直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點的橫坐標(biāo)為1。 （I）求直線的方程及m的值； （II）若，求函數(shù)的最大值。 （III）當(dāng)時，求證：解：（I）的斜率為1，且與函數(shù)的圖像的切點坐標(biāo)為（1，0），的方程為又與函數(shù)的圖象相切，有一解。由上述方程消去y，并整理得①依題意，方程②有兩個相等的實數(shù)根，解之，得m=4或m=2， （II）由（I）可知，單調(diào)，當(dāng)時，單減。，取最大值，其最大值為2。 （III）證明，當(dāng)時，53. 已知函數(shù)、（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為正常數(shù)，設(shè)，求函數(shù)的最小值；（Ⅲ）若，證明：、解:（Ⅰ）∵，解，得；解，得.∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. ……3′（Ⅱ）∵，定義域是.∴……5′由，得，由，得∴ 函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增……7′故函數(shù)的最小值是：. ……8′（Ⅲ）∵，∴ 在（Ⅱ）中取，可得，即.……10′∴，∴.即.……12′54. （替換構(gòu)造不等式）已知函數(shù)在點的切線方程為.⑴求函數(shù)的解析式；⑵設(shè)，求證：≥在上恒成立；（反比例，變形構(gòu)造）⑶已知，求證：.（替換構(gòu)造）解：⑴將代入切線方程得.∴，化簡得.，解得.∴ .⑵由已知得在上恒成立化簡，即在上恒成立設(shè)，.∵ ∴，即∴在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立 .⑶∵，∴，由⑵知有， 整理得∴當(dāng)時，.55. （替換證明）已知函數(shù)．（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性； （2）設(shè)，求在上的最大值；（3）試證明：對任意，不等式都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．解：（1）函數(shù)的定義域是．由已知．令，得．因為當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由（1）可知當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以．當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以．當(dāng)，即時，．綜上所述，（3）由（1）知當(dāng)時．所以在時恒有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．因此對任意恒有．因為，所以，即．因此對任意，不等式．56. （2010湖北，利用⑵結(jié)論構(gòu)造）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.（反比例，作差構(gòu)造）⑶.（替換構(gòu)造）解：本題主要考察函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，同事考察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理論證的能力和分類討論的思想。⑴，則有，解得.⑵由⑴知，令， 則 ，①當(dāng) ， 若 ，則，是減函數(shù)，所以 ，故在上恒不成立。②時， 若，故當(dāng)時。 綜上所述，所求的取值范圍為⑶由⑵知：當(dāng)時，有.令，有當(dāng)時，令，有 即 ，將上述個不等式依次相加得,整理得.57. 已知的圖像在點處的切線與直線平行.（1）求a，b滿足的關(guān)系式；（2）若上恒成立，求a的取值范圍；（3）證明： （n∈N*）解：（Ⅰ），根據(jù)題意，即. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令， 則，= ①當(dāng)時， ， 若，則，在減函數(shù)，所以，即在上恒不成立． ②時，當(dāng)時，在增函數(shù)，又，所以．綜上所述，所求的取值范圍是.（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)時，在上恒成立．取得令，得，即,所以上式中n=1，2，3，…，n，然后n個不等式相加得58. 已知函數(shù) （1）求函數(shù)的極值點。（2）若恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍。（3）證明：.解：(1)的定義域為（1，+∞），.當(dāng)時，則在（1，+∞）上是增函數(shù)。在（1，+∞）上無極值點.當(dāng)時，令，則.所以當(dāng)時，∴在上是增函數(shù)， 當(dāng)時，∴在上是減函數(shù)?！鄷r，取得極大值。綜上可知，當(dāng)時，無極值點；當(dāng)時，有唯一極值點.(2)由(1)可知，當(dāng)時，.由(1)知，若恒成立，只需即可，化簡得：,所以的取值范圍是[1，+∞）.(3)由(2)知，∴.∴ 59. (替換構(gòu)造)已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑵若≤0恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（一次，作差構(gòu)造）⑶證明：①當(dāng)時，；②.解：⑴函數(shù)的定義域為中，.　 當(dāng)≤0時，則在上是增函數(shù).　 當(dāng)時，在上是增函數(shù)