導數題型方法總結解析(編輯修改稿)
2024-12-02 10:44 本頁面
【文章內容簡介】 21() 2g x bx x d? ? ?，在（ 1）的條件下，是否存在實數 b ，使得函數 ()gx的圖像與函數 ()fx的圖像恒有含 1x?? 的三個不同交點？若存在，求出實數 b 的取值范圍；否則說明理由。 高 1考 1資 1源 2網 解：（ 1）∵ ()fx的圖像過原點，則 (0) 0 0fc? ? ? 2( ) 3 2f x ax x? ? ? ?， 又∵ 1x?? 是 ()fx的極值點，則 ( 1 ) 3 1 2 0 1f a a? ? ? ? ? ? ? ? ? 2( ) 3 2 ( 3 2 ) ( 1 ) 0f x x x x x?? ? ? ? ? ? ? ? 3( ) ( 1) 2f x f? ? ?極 大 值 2 22( ) ( )37f x f? ? ?極 小 值 （ 2）設 函數 ()gx的圖像與函數 ()fx的圖像恒存在含 1x?? 的三個不同交點， 等價于 ( ) ( )f x g x? 有含 1x?? 的三個根，即： 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2f g d b? ? ? ? ? ? ? 3 2 21 1 12 ( 1 )2 2 2x x x b x x b? ? ? ? ? ? ?整理得： 即： 3211( 1 ) ( 1 ) 022x b x x b? ? ? ? ? ?恒有含 1x?? 的三個不等實根 （計算難點來了：） 3211( ) ( 1 ) ( 1 ) 022h x x b x x b? ? ? ? ? ? ?有含 1x?? 的根， 23 1 ()fx? 則 ()hx 必可分解為 ( 1)( ) 0x ??二 次 式 ，故用 添項 配湊法因式分解， 3x 22xx?? 211( 1 ) ( 1 ) 022b x x b? ? ? ? ? ? 2211( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 022x x b x x b??? ? ? ? ? ? ????? 221( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 02x x b x x b??? ? ? ? ? ? ? 十字相乘法分解： ? ?? ?2 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 02x x b x b x? ? ? ? ? ? ? 2 11( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 022x x b x b??? ? ? ? ? ????? 3211( 1 ) ( 1 ) 022x b x x b? ? ? ? ? ? ?恒有含 1x?? 的三個不等實根 等價于 2 11( 1 ) ( 1 ) 022x b x b? ? ? ? ?有兩個不等于 1 的不等實根。 2211( 1 ) 4 ( 1 ) 04211( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 022bbbb? ? ? ? ? ? ? ???? ?? ? ? ? ? ? ???( , 1 ) ( 1 , 3 ) ( 3 , )b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 題 2：切線的條數問題 ====以切點 0x 為未知數的方程的根的個數 例 已知函數 32()f x a x b x cx? ? ?在點 0x 處取得極小值－ 4， 使其導數 39。( ) 0fx? 的 x 的取值范圍為 (1,3) ，求：（ 1） ()fx的解析式；（ 2）若過點 ( 1, )Pm? 可作曲線 ()y f x? 的三條切線，求實數 m 的取值范圍． （ 1）由題意得： 239。( ) 3 2 3 ( 1 ) ( 3 ) , ( 0 )f x a x b x c a x x a? ? ? ? ? ? ? ∴ 在 ( ,1)?? 上 39。( ) 0fx? ；在 (1,3) 上 39。( ) 0fx? ；在 (3, )?? 上 39。( ) 0fx? 因此 ()fx在 0 1x? 處取得極小值 4? ∴ 4abc? ? ?? ① ， 39。(1) 3 2 0f a b c? ? ? ?② ， 39。(3 ) 27 6 0f a b c? ? ? ?③ 由 ①②③ 聯立得：169abc??????????， ∴ 32( ) 6 9f x x x x? ? ? ? （ 2）設切點 Q(, ())t f t ， ,( ) ( )( )y f t f t x t? ? ? 2 3 2( 3 1 2 9 ) ( ) ( 6 9 )y t t x t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2( 3 1 2 9 ) ( 3 1 2 9 ) ( 6 9 )t t x t t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22( 3 1 2 9 ) ( 2 6 )t t x t t t? ? ? ? ? ?過 ( 1, )m? 2 3 2( 3 1 2 9 ) ( 1 ) 2 6m t t t t? ? ? ? ? ? ? 32( ) 2 2 1 2 9 0g t t t t m? ? ? ? ? ? 令 2239。( ) 6 6 1 2 6 ( 2 ) 0g t t t t t? ? ? ? ? ? ?， 求得： 1, 2tt?? ? ，方程 () 0gt? 有三個根。 需： ( 1) 0(2) 0gg ???? ?? 2 3 1 2 9 01 6 1 2 2 4 9 0mm? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? 1611mm???? ??? 故： 11 16m? ? ? ； 因此所求實數 m 的范圍為： ( 11,16)? 題 3：已知 ()fx在給定區(qū)間上的極值點個數 則有 導函數 =0 的根的個數 解法：根分布或判別式法 例 解：函數的定義 域為 R （ Ⅰ ） 當 m＝ 4 時， f (x)＝ 13x3－ 72x2＋ 10x， ()fx? ＝ x2－ 7x＋ 10，令 ( ) 0fx? ? ， 解得 5,x? 或 2x? . 令 ( ) 0fx? ? ， 解得 25x?? 可知函數 f(x)的單調遞增區(qū)間為 ( ,2)?? 和（ 5，＋∞），單調遞減區(qū)間為 ? ?2,5 ． （ Ⅱ ） ()fx? ＝ x2－ (m＋ 3)x＋ m＋ 6, 要使 函數 y＝ f (x)在（ 1，＋∞）有兩個極值點 , ()fx?? ＝ x2－ (m＋ 3)x＋ m＋ 6=0 的根在（ 1，＋∞） 根分布問題： 1 則2( 3 ) 4( 6) 0 。(1 ) 1 ( 3 ) 6 0 。3 1.2mmf m mm?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ??， 解得 m＞ 3 例 已知函數 23213)( xxaxf ??， )0,( ?? aRa （ 1）求 )(xf 的單調區(qū)間；（ 2） 令 ()gx＝ 14x4＋ f（ x）（ x∈ R）有且僅有 3 個極值點，求 a 的取值范圍． 解 ：（ 1） )1()( 239。 ???? axx
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