導(dǎo)數(shù)題型方法總結(jié)（解析）-文庫吧
2025-09-23 10:44 本頁面
【正文】 ( 0 ) 0 , ( 2 ) 4 , ( 4 ) 1 6f f f f? ? ? ? ? ? ? ∴ ()fx的值域是 [ 4,16]? （Ⅲ）令 2( ) ( ) ( ) ( 1 ) 3 [ 1 , 4 ]2th x f x g x x t x x? ? ? ? ? ? ? ? 思路 1：要使 ( ) ( )f x g x? 恒成立，只需 ( ) 0hx? ，即 2( 2 ) 2 6t x x x? ? ?分離變量 思路 2：二次函數(shù)區(qū)間最值 二 、參數(shù)問題 題型一： 已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍 解法 1： 轉(zhuǎn)化為 0)(0)( 39。39。 ?? xfxf 或 在給定區(qū)間上恒成立， 回歸基礎(chǔ)題型 解法 2： 利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集； 做題時一定要看清楚“在（ m,n）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（ a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別：前者是后者的子集 例 4： 已知 Ra? ， 函數(shù) xaxaxxf )14(2 1121)( 23 ????? ． （Ⅰ） 如果函數(shù) )()( xfxg ?? 是偶函數(shù)，求 )(xf 的極大值和極小值； （Ⅱ） 如果函數(shù) )(xf 是 ),( ???? 上的單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值范圍． 解： )14()1(41)( 2 ?????? axaxxf. （Ⅰ） ∵ ()fx? 是偶函數(shù)， ∴ 1??a . 此時 xxxf 3121)( 3 ??， 341)( 2 ??? xxf， 令 0)( ?? xf ， 解得： 32??x . 列表如下： x (－ ∞,－ 2 3 ) － 2 3 (－ 2 3 ,2 3 ) 2 3 (2 3 ,+∞) )(xf? + 0 － 0 + )(xf 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 可知： ()fx的極大值為 34)32( ??f ， ()fx的極小值為 34)32( ??f . （Ⅱ）∵ 函數(shù) )(xf 是 ),( ???? 上的單調(diào)函數(shù)， ∴ 21( ) ( 1 ) ( 4 1 ) 04f x x a x a? ? ? ? ? ? ?， 在給定區(qū)間 R 上恒成立 判別 式法 則 221( 1 ) 4 ( 4 1 ) 2 04a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 解得： 02a?? . 綜上， a 的取值范圍是 }20{ ??aa . 例 已知函數(shù) 3211( ) ( 2 ) ( 1 ) ( 0) .32f x x a x a x a? ? ? ? ? ? （ I）求 ()fx的單調(diào)區(qū)間； （ II）若 ()fx在 [0， 1]上單調(diào)遞增， 求 a 的取值范圍。 子集思想 （ I） 2( ) ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) .f x x a x a x x a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20 , ( ) ( 1 ) 0 ,a f x x?? ? ? ?當 時 恒 成 立 當且僅當 1x?? 時取“ =”號， ( ) ( , )fx ?? ??在 單調(diào)遞增。 1 2 1 20 , ( ) 0 , 1 , 1 , ,a f x x x a x x?? ? ? ? ? ? ?當 時 由 得 且 單調(diào)增區(qū)間： ( , 1), ( 1, )a?? ? ? ?? 單調(diào)增區(qū)間： ( 1, 1)a?? a1 1 ()fx? （ II）當 ( ) [ 0 ,1 ] ,fx 在 上 單 調(diào) 遞 增 則 ? ?0,1 是上述增區(qū)間的子集： 0a? 時， ( ) ( , )fx ?? ??在 單調(diào)遞增 符合題意 ? ? ? ?0,1 1,a? ? ??， 10a? ? ? 1a?? 綜上， a 的取值范圍是 [0， 1]。 三、題型二：根的個數(shù)問題 題 1 函數(shù) f(x)與 g(x)（或與 x 軸）的交點 ======即方程根的個數(shù)問題 解題步驟 第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”； 第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）； 主要看極大值和極小值與 0 的關(guān)系； 第三步：解不等式（組）即可 ； 例 已知函數(shù) 23 2 )1(31)( xkxxf ??? ， kxxg ?? 31)( ，且 )(xf 在區(qū)間 ),2( ?? 上為增函數(shù)． （ 1） 求實數(shù) k 的取值范圍； （ 2） 若函數(shù) )(xf 與 )(xg 的圖象有三個不同的交點，求實數(shù) k 的取值范圍． 解：（ 1）由題意 xkxxf )1()( 2 ???? ∵ )(xf 在區(qū)間 ),2( ?? 上為增函數(shù)， ∴ 0)1()( 2 ????? xkxxf 在區(qū)間 ),2( ?? 上恒成立 （分離變量法） 即 xk ??1 恒成立，又 2?x ，∴ 21??k ，故 1?k ∴ k 的取值范圍為 1?k （ 2）設(shè) 312 )1(3)()()( 23 ??????? kxxkxxgxfxh ， )1)(()1()( 2 ???????? xkxkxkxxh 令 0)( ?? xh 得 kx? 或 1?x 由（ 1）知 1?k ， ①當 1?k 時， 0)1()( 2 ???? xxh ， )(xh 在 R 上遞增，顯然不合題意? ②當 1?k 時， )(xh ， )(xh? 隨 x 的變化情況如下表： x ),( k?? k )1,(k 1 ),1( ?? )(xh? ? 0 — 0 ? )(xh ↗ 極大值3126 23 ??? kk ↘ 極小值 21?k ↗ 由于 021??k，欲使 )(xf 與 )(xg 的圖象有三個不同的交點，即方程 0)( ?xh 有三個不同的實根，故需 03126 23 ???? kk ，即 0)22)(1( 2 ???? kkk ∴??? ???? 02212 kkk ，解得 31??k 綜上，所求 k 的取值范圍為 31??k 根的個數(shù)知道，部分根可求或已知。 例 已知函數(shù) 321( ) 22f x ax x x c? ? ? ? （ 1）若 1x?? 是 ()fx的極值點且 ()fx的圖像過原點，求 ()fx的極值； （ 2）若
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