【正文】 nnn aaa ?? ?? 01.,2 11 ????? ?? nnn aaNnaa 知同， ,21 ?? ?nnaa同定義知 }{na 是首項(xiàng)為 1，公比為 2 的等比數(shù)列 . （Ⅱ） ,22,2 11111 ????? ????? nnnnnnnn bbbba ?,2,2,2 234123012 ?????? bbbbbb ,2 21 ?? ?? nnn bb 等式左、右兩邊分別相加得： ,2221 213222 112101 ??????????? ??? nnnn bb ? nT nnn 2)2222()22()22()22()22( 12101210 ???????????????? ?? ?? = .122221 21 ?????? nn nn 例 8 求 2 2 2 2 1 21 2 3 4 ( 1 ) nSn ?? ? ? ? ? ? ?（ nN?? ） 解：⑴ 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， 2 2 2 2 2 2 ( 1 )( 1 2 ) ( 3 4 ) [ ( 1 ) ] ( 1 2 ) 2nnS n n n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； ⑵ 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) 1( 1 2 ) ( 3 4 ) [ ( 2 ) ( 1 ) ] [ 1 2 ( 1 ) ] ( )22nnS n n n n n n n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?綜 上所述， 1 1( 1) ( 1)2nS n n?? ? ?． 8 點(diǎn)評(píng)：分組求和即將不能直接求和的數(shù)列分解成若干個(gè)可以求和的數(shù)列 ,分別求和 . 六、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和 先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法 . 例 9 求 ??? 1 1111111111 個(gè)n ?????????? 之和 . 解：由于 )110(9199 9 99111 1 111?????????? kkk ???????? 個(gè)個(gè) （找通項(xiàng)及特征） ∴ ??? 1 1111111111 個(gè)n ?????????? ＝ )110(91)110(91)110(91)110(91 321 ??????????? n （分組求和） ＝ )1111(91)10101010(911321 ?? ??? ??個(gè)nn ??????????????? ＝ 9110 )110(1091 nn ???? ＝ )91010(811 1 nn ??? 例 10 已知數(shù)列 {an}： ??? ?????? 1 1 ))(1(,)3)(1(8n nnn aannna 求的值 . 解：∵ ])4)(2(1)3)(1( 1)[1(8))(1( 1 ????????? ? nnnnnaan nn （找通項(xiàng)及特征） ＝ ])4)(3(1)4)(2( 1[8 ?????? nnnn （設(shè)制分組） ＝ )4131(8)4121(4 ???????? nnnn （裂項(xiàng)） ∴ ????????? ? ?????????? 111 1 )4131(8)4121(4))(1(nnn nn nnnnaan （分組、裂項(xiàng)求和） ＝ 418)4131(4 ???? 9 ＝ 313 類型 1 )(1 nfaa nn ??? 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 )(1 nfaa nn ??? ，利用累加法 (逐差相加法 )求解。 例 :已知數(shù)列 ??na 滿足 211?a ， nnaa nn ???? 21 1，求 na 。 解：由條件知： 111)1( 1121 ????????? nnnnnnaa nn 分別令 )1(,3,2,1 ???????? nn ，代入上式得 )1( ?n 個(gè)等式累加之，即 )()()()( 1342312 ??????????????? nn aaaaaaaa )111()4131()3121()211( nn ???????????????? 所以 naan 111 ??? 211?a? ， nna n 1231121 ?????? 類型 2 nn anfa )(1 ?? 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 )(1 nfaann ??，利用累乘法 (逐商相乘法 )求解。 例 :已知數(shù)列 ??na 滿足 321?a ， nn anna 11 ??? ，求 na 。 解：由條件知 11 ??? nnaann，分別令 )1(,3,2,1 ???????? nn ，代入上式得 )1( ?n 個(gè)等式累乘之，即 1342312??????????? nnaaaaaaaa nn 1433221 ???????????? naan 11 ?? 又 321?a? ， nan 32?? 例 :已知 31?a ， nn anna 23 131 ???? )1( ?n ，求 na 。 10 123 13223 1232)2(3 1)2(32)1(3 1)1(3 annnna n ????? ????????? ????? ??? 3 4 3 7 5 2 633 1 3 4 8 5 3 1nnn n n??? ? ? ? ? ?? ? ?。 類型 3 qpaa nn ???1 （其中 p， q 均為常數(shù)， )0)1(( ??ppq ）。 解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為： )(1 tapta nn ???? ，其中 pqt ??1，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。 例 :已知數(shù)列 ??na 中， 11?a ， 321 ??? nn aa ，求 na . 解：設(shè)遞推公式 321 ??? nn aa 可以轉(zhuǎn)化為 )(21 tata nn ???? 即 321 ?????? ttaa nn .故遞推公式為 )3(231 ???? nn aa ,令 3?? nn ab ，則 4311 ???ab ,且 23311 ???? ?? nnnn aabb .所以 ??nb 是以 41?b 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列，則 11 224 ?? ??? nnnb ,所以 32 1 ?? ?nna . 變式 :遞推式： ? ?nfpaa nn ???1 。解法：只需構(gòu)造數(shù)列 ??nb ，消去 ??nf 帶來(lái)的差異． 類型 4 nnn qpaa ???1 （其中 p ， q 均 為 常 數(shù) ， )0)1)(1(( ??? qppq ）。 （ 1 nnna pa rq? ??,其中 p， q, r 均為常數(shù)） 。 解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以 1?nq ，得： qqaqpqa nnnn 111 ?????引入輔助數(shù)列??nb （其中 nnn qab ? ），得： qbqpb nn 11 ??? 再待定系數(shù)法解決。 例 :已知數(shù)列 ??na 中， 651?a , 11 )21(31 ?? ?? nnn aa ，求 na 。 解：在 11 )21(31 ?? ?? nnn aa 兩邊乘以 12?n 得： 1)2(322 11 ???? ?? nnnn aa 令 nnn ab ??2 ，則 1321 ??? nn bb ,解之得： nnb )32(23?? 所以 11 nnnnn ba )31(2)21(32 ??? 類型 5 遞推公式為 nnn qapaa ?? ?? 12 （其中 p， q 均為常數(shù)）。 解法一 (待定系數(shù)法 )：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 )( 112 nnnn saatsaa ??? ??? 其中 s， t 滿足??? ???? qst pts 解法二 (特征根法 )：對(duì)于由遞推公式 nnn qapaa ?? ?? 12 ， ?? ?? 21 ,aa 給出的數(shù)列 ??na ，方程 02 ??? qpxx ，叫做 數(shù)列 ??na 的特征方程。若 21,xx 是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng) 21 xx?時(shí)，數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)為 1211 ?? ?? nnn BxAxa ，其中 A， B 由 ?? ?? 21 ,aa 決定（即把2121 , xxaa 和 2,1?n ，代入 1211 ?? ?? nnn BxAxa ，得到關(guān)于 A、 B 的方程組）；當(dāng) 21 xx? 時(shí)，數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)為 11)( ??? nn xBnAa ，其中 A， B 由 ?? ?? 21 ,aa 決定（即把 2121 , xxaa和 2,1?n ，代入 11)( ??? nn xBnAa ，得到關(guān)于 A、 B 的方程組）。 解法一（待定系數(shù) —— 迭加法） :數(shù)列 ??na ： ),0(0253 12 Nnnaaa nnn ????? ?? ， baaa ?? 21 , ，求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式。由 0253 12 ??? ?? nnn aaa ，得 )(32 112 nnnn aaaa ??? ??? ，且 abaa ??? 12 。 則數(shù)列 ? ?nn aa ??1 是以 ab? 為首項(xiàng)， 32 為公比的等比數(shù)列，于是 11 )32)(( ?? ??? nnn abaa 。 把 nn ,3,2,1 ???? 代入，得 abaa ??? 12 ， )32()(23 ???? abaa ， 234 )32()( ???? abaa ， ??? 21 )32)(( ?? ??? nnn abaa 。把以上各式相加，得 12 ])32()32(321)[( 21 ??????????? nn abaa)(321)32(1 1abn?????。 abbaaaba nnn 23)32)((3)]()32(33[ 11 ????????? ??。 解法二（特征根法）：數(shù)列 ??na ： ),0(0253 12 Nnnaaa nnn ????? ?? ， baaa ?? 21 ,的特征方程是： 0253 2 ??? xx 。 32,1 21 ?? xx? ,? 1211 ?? ?? nnn BxAxa 1)32( ???? nBA 。又由 baaa ?? 21 , ，于是 ?????????????????)(32332 baB abABAbBAa故 1)32)((323 ????? nn baaba 例 :已知數(shù)列 ??na 中， 11?a , 22?a , nnn aaa 3132 12 ?? ?? ，求 na 。 解：由 nnn aaa 3132 12 ?? ?? 可轉(zhuǎn)化為 )( 112 nnnn saatsaa ??? ??? 即 nnn staatsa ??? ?? 12 )( ????????????3132stts?????????311ts或 ????????131ts 這里不妨選用 ????????311ts（當(dāng)然也可選用 ????????131ts，大家可以試一試），則 )(31 112 nnnn aaaa ???? ??? ? ?nn aa ?? ?1 是以首項(xiàng)為 112 ??aa ，公比為 31? 的等比數(shù)列 ,所以 11 )31( ?? ??? nnn aa ,應(yīng)用類型 1 的方法，分別 令 )1(,3,2,1 ???????? nn ，代入上式得)1( ?n 個(gè)等式累加之，即 13 2101 )31()31()31( ??????????????? nn aa 311)31(1 1?????n又 11?a? ，所以 1)31(4347 ???? nna 。 類型 6 遞推公式為 nS 與 na 的關(guān)系式。 (或 ()nnS f a? ) 解法： 這種類型一般利用 ??? ????????? ??????????????????? )2()1(11 nSS nSannn 與 )()( 11 ?? ???? nnnnn afafSSa 消去 nS )2( ?n 或與 )( 1??? nnn SSfS )2( ?n 消去 na 進(jìn)行求解。 例：已知數(shù)列 ??na 前 n 項(xiàng)和 22 14 ???? nnn aS .（ 1）求 1?na 與 na 的關(guān)系；（ 2）求通項(xiàng)公 式 na . 解：（ 1）由 22 14 ???? nnn aS 得： 111 2 14 ??? ??? nnn aS 于是 )2 12 1()( 1211 ???? ????? nnnnnn aaSS 所以 111 2 1??? ??? nnnn aaa nnaa 2121 ??? ? . （ 2）應(yīng)用類型 4（ nnn qpaa ???1 （其中 p， q 均為常數(shù)， )0)1)(1(( ??? qppq ）） 的方法，上式兩邊同乘以 12?n 得： 222 11