導(dǎo)數(shù)題型方法總結(jié)解析(已修改)
2024-11-12 10:44 本頁(yè)面
【正文】 導(dǎo)數(shù)題型總結(jié) （解析版） 體型一 : 關(guān)于二次函數(shù)的不等式 恒成立 的主要解法： 分離變量； 2 變更主元； 3 根分布； 4 判別式法 二次函數(shù)區(qū)間最值求法：（ 1）對(duì)稱軸（重視單調(diào)區(qū)間） 與定義域的關(guān)系 （ 2）端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在 其次， 分析每種題型的本質(zhì)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問(wèn)題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。 注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的基礎(chǔ) 一、基礎(chǔ)題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立； 此類問(wèn)題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行 解決： 第一步：令 0)(39。 ?xf 得到兩個(gè)根； 第二步：畫(huà)兩圖或列表； 第三步：由圖表可知； 其中 不等式恒成立問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問(wèn)題， 常見(jiàn)處理方法有三種： 第一種：分離變量求最值 用分離變量時(shí)要特別注意是否需分類討論（ 0,=0,0） 第二種：變更主元 （即關(guān)于某字母的一次函數(shù)） （ 已知誰(shuí)的范圍就把誰(shuí)作為主元 ）； 例 1：設(shè)函數(shù) ()y f x? 在區(qū)間 D 上的導(dǎo)數(shù)為 ()fx? ， ()fx? 在區(qū)間 D 上的導(dǎo)數(shù)為 ()gx，若在區(qū)間 D上， ( ) 0gx? 恒成立，則稱函數(shù) ()y f x? 在區(qū)間 D 上為“凸函數(shù)”，已知實(shí)數(shù) m 是常數(shù)，4 3 23() 1 2 6 2x m x xfx ? ? ? （ 1）若 ()y f x? 在區(qū)間 ? ?0,3 上為“凸函數(shù)”，求 m 的取值 范圍； （ 2） 若對(duì)滿足 2m? 的任何一個(gè)實(shí)數(shù) m ， 函數(shù) ()fx在區(qū)間 ? ?,ab 上都為 “ 凸函數(shù) ”，求 ba? 的最大值 . 解 :由函數(shù) 4 3 23() 1 2 6 2x m x xfx ? ? ? 得 32( ) 332x m xf x x? ? ? ? 2( ) 3g x x m x? ? ? ? （ 1） ()y f x? 在區(qū)間 ? ?0,3 上為“凸函數(shù)”， 則 2( ) 3 0g x x m x? ? ? ? ? 在區(qū)間 [0,3]上恒成立 解法一：從 二次函數(shù)的區(qū)間最值 入手：等價(jià)于 max( ) 0gx? ( 0 ) 0 3 0 2( 3 ) 0 9 3 3 0g mgm? ? ???? ? ???? ? ? ??? 解法二： 分離變量法： ∵ 當(dāng) 0x? 時(shí) , 2( ) 3 3 0g x x m x? ? ? ? ? ? ?恒成立 , 當(dāng) 03x??時(shí) , 2( ) 3 0g x x m x? ? ? ?恒成立 等價(jià)于 2 33xmxxx?? ? ?的最大值（ 03x??）恒成立， 而 3()h x x x?? （ 03x??）是 增函數(shù) ，則 max ( ) (3) 2h x h?? 2m?? (2)∵當(dāng) 2m? 時(shí) ()fx在區(qū)間 ? ?,ab 上都為 “ 凸函數(shù) ” 則 等價(jià)于當(dāng) 2m? 時(shí) 2( ) 3 0g x x m x? ? ? ? 恒成立 變更主元法 再等價(jià)于 2( ) 3 0F m m x x? ? ? ?在 2m? 恒成立 （視為關(guān)于 m 的一次函數(shù)最值問(wèn)題） 22( 2 ) 0 2 3 0 11( 2 ) 0 2 3 0F x x xF xx?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? 2ba? ? ? 2 2 例 2：設(shè)函數(shù) ),10(3231)( 223 Rbabxaaxxxf ???????? （Ⅰ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （Ⅱ）若對(duì)任意的 ],2,1[ ??? aax 不等式 ()f x a? ? 恒成立，求 a 的取值范圍 . （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子） 解：（Ⅰ） ? ? ? ?22( ) 4 3 3f x x a x a x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? 01a?? 令 ,0)( ?? xf 得 )(xf 的單調(diào)遞增區(qū)間為（ a,3a） 令 ,0)( ?? xf 得 )(xf 的單調(diào)遞減區(qū)間 為（－ ? ， a）和（ 3a， +? ） ∴當(dāng) x=a 時(shí)， )(xf 極小值 = 。43 3 ba ?? 當(dāng) x=3a 時(shí)， )(xf 極大值 =b. （Ⅱ）由 | )(xf? |≤ a，得：對(duì)任意的 ],2,1[ ??? aax 2243a x a x a a? ? ? ? ?恒成立① 則等價(jià) 于 ()gx 這個(gè)二次函數(shù) maxmin()()g x ag x a??? ??? 22( ) 4 3g x x a x a? ? ?的對(duì)稱軸 2xa? 0 1,a?? 12a a a a? ? ? ? （放縮法） 即定義域在對(duì)稱軸的右邊， ()gx這個(gè)二次函數(shù)的最值問(wèn)題：?jiǎn)握{(diào)增函數(shù)的最值問(wèn)題。 22( ) 4 3 [ 1 , 2 ]g x x a x a a a? ? ? ? ?在上是增函數(shù) . （ 9 分） m a xm in( ) ( 2 ) 2 1 .( ) ( 1 ) 4 4 .g x g a ag x g a a? ? ? ? ?? ? ? ? ? ∴于是，對(duì)任意 ]2,1[ ??? aax ，不等式①恒成立，等價(jià)于 ( 2 ) 4 4 , 4 1.( 1 ) 2 1 5g a a a ag a a a? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ?? 解 得 又 ,10 ??a ∴ .154 ??a 點(diǎn)評(píng)：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對(duì)稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的關(guān)系 3a a ()fx? a 3a 2xa? ? ?1, 2aa?? 第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值 題型特征： )()( xgxf ? 恒成立 0)()()( ???? xgxfxh 恒成立；從而轉(zhuǎn)化為 第一、二種題型 例 3；已知函數(shù) 32()f x x ax??圖象上一點(diǎn) (1, )Pb處的切線斜率為 3? ， 326( ) ( 1 ) 3 ( 0)2tg x x x t x t?? ? ? ? ? ? （Ⅰ）求 ,ab的值； （Ⅱ）當(dāng) [ 1,4]x?? 時(shí)，求 ()fx的值域； （Ⅲ）當(dāng) [1,4]x? 時(shí)，不等式 ( ) ( )f x g x? 恒成立，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍。 解： （Ⅰ ） /2( ) 3 2f x x ax??∴ / (1) 31fba? ??? ???， 解得 32ab???? ??? （Ⅱ）由（Ⅰ ）知， ()fx在 [ 1,0]? 上單調(diào)遞增，在 [0,2] 上單調(diào)遞減，在 [2,4] 上單調(diào)遞減 又 ( 1 ) 4 ,
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