高三文科導(dǎo)數(shù)題型歸納(已修改)
2024-11-18 19:39 本頁面
【正文】 文科導(dǎo)數(shù)題型歸納 請同學(xué)們 高度重視： 首先 ， 關(guān)于二次函數(shù)的不等式 恒成立 的主要解法 ： 分離變量； 2 變更主元； 3 根分布； 4 判別式法 二次函數(shù)區(qū)間最值求法：（ 1）對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間） 與定義域的關(guān)系 （ 2）端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最 值 所在 其次 ， 分析每種題型的本質(zhì)，你會發(fā)現(xiàn) 大部分都在解決 “ 不等式恒成立問題 ” 以及“ 充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想 ”，創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。 最后，同學(xué)們在看例題時(shí)，請注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的基礎(chǔ) 一、 基礎(chǔ)題型 ： 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立 ； 此類問題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決： 第一步：令 0)(39。 ?xf 得到兩個(gè)根； 第二步： 畫兩圖或列表 ； 第三步：由 圖 表可知； 其中 不等式恒成立問題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問題， 常見處理方法有 三 種： 第一種：分離變量求最值 用分離變量時(shí)要特別注意是否需分類討論（ 0,=0,0） 第 二 種：變更主元 （即關(guān)于某字母的一次函數(shù)） （ 已知誰的范圍就把誰作為主元 ）； （請同學(xué)們 參看 2020 省 統(tǒng)測 2） 例 1：設(shè)函數(shù) ()y f x? 在 區(qū)間 D 上的導(dǎo)數(shù)為 ()fx? ， ()fx? 在區(qū)間 D 上的導(dǎo)數(shù)為 ()gx ，若在區(qū)間 D上， ( ) 0gx? 恒成立，則稱函數(shù) ()y f x? 在區(qū)間 D 上為 “ 凸函數(shù) ”，已知實(shí)數(shù) m 是常數(shù)，4 3 23() 1 2 6 2x m x xfx ? ? ? （ 1）若 ()y f x? 在區(qū)間 ? ?0,3 上為“凸函數(shù)” ，求 m 的取值范圍； （ 2） 若對滿足 2m? 的任何一個(gè)實(shí)數(shù) m ， 函數(shù) ()fx在區(qū)間 ? ?,ab 上都為 “ 凸函數(shù) ”，求 ba? 的最大值 . 解 :由函數(shù) 4 3 23() 1 2 6 2x m x xfx ? ? ? 得 32( ) 332x m xf x x? ? ? ? 2( ) 3g x x mx? ? ? ? （ 1） ()y f x? 在區(qū)間 ? ?0,3 上為“凸函數(shù)”， 則 2( ) 3 0g x x m x? ? ? ? ? 在區(qū)間 [0,3]上恒成立 解法一：從 二次函數(shù)的區(qū)間最值 入手：等價(jià)于 max( ) 0gx? ( 0 ) 0 3 0 2( 3 ) 0 9 3 3 0g mgm? ? ???? ? ???? ? ? ??? 解法二： 分離變量法 ： ∵ 當(dāng) 0x? 時(shí) , 2( ) 3 3 0g x x mx? ? ? ? ? ? ?恒成立 , 當(dāng) 03x??時(shí) , 2( ) 3 0g x x mx? ? ? ?恒成立 等價(jià)于 2 33xmxxx?? ? ?的最大值（ 03x??） 恒成立， 而 3()h x xx??（ 03x??） 是 增函數(shù) ， 則 max ( ) (3) 2h x h?? 2m?? (2)∵當(dāng) 2m? 時(shí) ()fx在區(qū)間 ? ?,ab 上都為 “ 凸函數(shù) ” 則 等價(jià)于當(dāng) 2m? 時(shí) 2( ) 3 0g x x mx? ? ? ? 恒成立 變 更主元 法 再等價(jià)于 2( ) 3 0F m mx x? ? ? ?在 2m? 恒成立 （視為關(guān)于 m的一次函數(shù)最值問題） 22( 2 ) 0 2 3 0 11( 2 ) 0 2 3 0F x x xF xx?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? 2ba? ? ? 請同學(xué)們參看 2020 第三次周考： 例 2：設(shè)函數(shù) ),10(3231)( 223 Rbabxaaxxxf ???????? （Ⅰ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間和極值； （Ⅱ）若對任意的 ],2,1[ ??? aax 不等式 ()f x a? ? 恒成立，求 a 的取值范圍 . （二次函數(shù)區(qū)間最值的例子） 解：（Ⅰ） ? ? ? ?22( ) 4 3 3f x x ax a x a x a? ? ? ? ? ? ? ? ? 01a?? 令 ,0)( ?? xf 得 )(xf 的單調(diào)遞增區(qū)間為（ a,3a） 令 ,0)( ?? xf 得 )(xf 的單調(diào)遞減區(qū)間為（－ ? ， a）和（ 3a， +? ） ∴當(dāng) x=a 時(shí)， )(xf 極小值 = 。43 3 ba ?? 當(dāng) x=3a 時(shí)， )(xf 極大值 =b. （Ⅱ）由 | )(xf? |≤ a，得 ：對任意的 ],2,1[ ??? aax 2243a x ax a a? ? ? ? ?恒成立 ① 則等價(jià)于 ()gx 這個(gè)二次函數(shù) maxmin()()g x ag x a??? ??? 22( ) 4 3g x x ax a? ? ?的對稱軸 2xa? 0 1,a?? 12a a a a? ? ? ? （放縮法） 2 2 3a a ()fx? a 3a 即定義域在對稱軸的右邊， ()gx 這個(gè)二次函數(shù)的最值問題：單調(diào)增函數(shù)的最值問題。 22( ) 4 3 [ 1 , 2]g x x ax a a a? ? ? ? ?在上是 增 函數(shù) . （ 9 分） m a xm in( ) ( 2 ) 2 1 .( ) ( 1 ) 4 4 .g x g a ag x g a a? ? ? ? ?? ? ? ? ? ∴于是，對任意 ]2,1[ ??? aax ，不等式①恒成立，等價(jià)于 ( 2 ) 4 4 , 4 1.( 1 ) 2 1 5g a a a ag a a a? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ?? 解 得 又 ,10 ??a ∴ .154 ??a 點(diǎn)評：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對稱軸（重視單調(diào)區(qū)間）與定義域的 關(guān)系 第 三 種：構(gòu)造函數(shù)求最值 題型特征 ： )()( xgxf ? 恒成立 0)()()( ???? xgxfxh 恒成立； 從而轉(zhuǎn)化為 第一、二種題型 例 3； 已知函數(shù) 32()f x x ax??圖象上一點(diǎn) (1, )Pb處 的切線斜率為 3? ， 326( ) ( 1 ) 3 ( 0 )2tg x x x t x t?? ? ? ? ? ? （Ⅰ）求 ,ab的值； （Ⅱ）當(dāng) [ 1,4]x?? 時(shí)，求 ()fx的值域； （Ⅲ）當(dāng) [1,4]x? 時(shí)，不等式 ( ) ( )f x g x? 恒成立，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍。 解： （Ⅰ ） /2( ) 3 2f x x ax??∴ / (1) 31fba? ??? ???， 解得 32ab???? ??? （Ⅱ）由（Ⅰ ）知， ()fx在 [ 1,0]? 上單調(diào)
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