【正文】 1 高考 數(shù) 列 方法總結(jié) 及題型大全 方法技巧 數(shù)列求和的常用方法 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查對(duì)象。數(shù)列求和的基本思路是，抓通項(xiàng)，找規(guī)律，套方法。下面介紹數(shù)列求和的幾種常用方法： 一、直接（或轉(zhuǎn)化）由等差、等比數(shù)列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法 . 等差數(shù)列求和公式： dnnnaaanS nn 2 )1(2 )( 11 ????? 等比數(shù)列求和公式： ????? ???????? )1(11)1()1(111qq qaaqqaqnaS nnn )1(211 ??? ?? nnkS nkn )12)(1(611 2 ???? ?? nnnkS nkn 213 )]1(21[ ??? ?? nnkSnkn 例 1（ 07 高考山東文 18）設(shè) {}na 是公比大于 1 的等比數(shù)列， nS 為數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和．已知 3 7S? ，且 1 2 33 3 4a a a??， ， 構(gòu)成等差數(shù)列． （ 1）求數(shù)列 {}na 的等差數(shù)列． （ 2）令 31ln 1 2nnb a n???， ， ， ，求數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和 T ． 解：（ 1）由已知得1 2 313 27: ( 3 ) ( 4) 3.2a a aaa a? ? ???? ? ? ? ???，解得 2 2a? ． 設(shè)數(shù)列 {}na 的公比為 q ，由 2 2a? ，可得 132 2a a qq??，． 又 3 7S? ，可知2 2 2 7qq ? ? ?，即 22 5 2 0qq? ? ? ， 2 解得 1212 2qq??， ．由題意得 12qq???， ． 1 1a??．故數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)為 12nna ?? ． （ 2）由于 31ln 1 2nnb a n???， ， ， ，由（ 1）得 3312 nna ? ? 3ln 2 3 ln 2nnbn? ? ? ， 又 1 3ln 2n n nbb? ?? {}nb? 是等差數(shù)列． 12nnT b b b? ? ? ? ? 1()2(3 ln 2 3 ln 2)23 ( 1) ln 2.2nn b bnnn?????? 故 3 ( 1) ln 22n nnT ?? ． 練習(xí)：設(shè) Sn＝ 1+2+3+…+n ， n∈ N*,求 1)32()( ??? nn SnSnf的最大值 . 解：由等差數(shù)列求和公式得 )1(21 ?? nnSn ， )2)(1(21 ??? nnS n （利用常用公式） ∴ 1)32()( ??? nn Sn Snf＝ 64342 ?? nn ＝ nn64341??＝50)8(12 ?? nn501? ∴ 當(dāng) 88?n，即 n＝ 8 時(shí)， 501)( max ?nf 二、錯(cuò)位相減法 設(shè)數(shù)列 ??na 的等比數(shù)列，數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列，則數(shù)列 ? ?nnba 的前 n 項(xiàng)和 nS 求解，均可用錯(cuò)位相減法。 3 例 2（ 07 高考天津理 21）在數(shù)列 ??na 中， 1112 ( 2 ) 2 ( )nnnna a a n? ? ????? ? ? ? ? ? N， ，其中 0?? ． （Ⅰ）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS ； （Ⅰ）解：由 11 ( 2 ) 2 ( )nnnna a n? ? ???? ? ? ? ? ? N， 0?? ， 可得111 22 1nnnnaa? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 所以2 nnna?????????????????為等差數(shù)列，其公差為 1，首項(xiàng)為 0，故 2 1nnna n????? ? ?????，所以數(shù)列 ??na的通項(xiàng)公式為 ( 1) 2nnnan ?? ? ?． （Ⅱ）解：設(shè) 2 3 4 12 3 ( 2 ) ( 1 )nnnT n n? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?， ① 3 4 5 12 3 ( 2 ) ( 1 )nnnT n n? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ② 當(dāng) 1?? 時(shí)，①式減去②式， 得212 3 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 nn n nnT n n??? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， 2 1 1 2 1 222( 1 ) ( 1 )( 1 ) 1 ( 1 )n n n nn n n nT ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ?． 這時(shí)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和2 1 2 12( 1 ) 22(1 )nn nn nnS ? ? ???? ?? ? ?? ? ??． 當(dāng) 1?? 時(shí)， ( 1)2n nnT ?? ．這時(shí)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 1( 1) 222 nn nnS ??? ? ?． 例 3（ 07 高考全國Ⅱ文 21）設(shè) {}na 是等差數(shù)列， {}nb 是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且111ab??， 3521ab?? ， 5313ab?? （Ⅰ）求 {}na ， {}nb 的通項(xiàng)公式； 4 （Ⅱ）求數(shù)列nnab??????的前 n 項(xiàng)和 nS ． 解：（Ⅰ）設(shè) ??na 的公差為 d ， ??nb 的公比為 q ，則依題意有 0q? 且421 2 211 4 13dqdq? ? ? ??? ? ? ???， 解得 2d? ， 2q? ． 所以 1 ( 1) 2 1na n d n? ? ? ? ?， 112nnnbq????． （Ⅱ） 1212n nna nb ???． 1 2 2 13 5 2 3 2 11 2 2 2 2n nnS ??? ? ? ? ? ?，① 325 2 3 2 12 2 3 2 2 2n nnS ??? ? ? ? ? ?，② ②－①得 2 2 12 2 2 2 122 2 2 2 2n nn nS ?? ?? ? ? ? ? ? ?， 2 2 11 1 1 2 12 2 1 2 2 2 2nn n?? ???? ? ? ? ? ? ? ????? 1111212221 212nnn??? ?? ? ? ?? 1236 2nn ???? ． 三、逆序相加法 把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加（即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣） 例 4（ 07 豫南五市二聯(lián)理 22.）設(shè)函數(shù) 222)( ?? x xxf的圖象上有兩點(diǎn) P1(x1, y1)、 P2(x2, y2)，若 )(21 21 OPOPOP ?? ,且點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 21 . （ I）求證： P 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)定值； 5 （ II）若 。求,),()3()2()1( * nn SNnnnfnfnfnfS ??????? （ III）略 （ I）∵ )(21 21 OPOPOP ?? ,且點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 21 . ∴ P 是 12PP 的中點(diǎn)，且 121xx?? ? ? ? ?? ?? ? ? ?1 2 2 11212 22121122222 24214212 2 2 22222 22222px x x xxxxx xxxxxyyy? ? ?? ? ? ??? ??? ? ????? 由（ I）知， 121xx?? ? ? ? ? ? ?12 1 , 1 2 2f f fxx? ? ? ?且 ? ?? ?1 2 1 11 2 1 2nnnnf f f fn n n nnnf f f fn n n nSS?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?又，（ 1 ） + （ 2 ） 得 ：? ? ? ?? ?1 1 2 2 12 1 12 1 1 1 1 3 2 23 2 22nnn n nf f f f f f f fn n n n n nfnnSS? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 四、裂項(xiàng)求和法 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用 . 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的 . 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如： （ 1） 111)1( 1 ????? nnnna n （ 2） )12112 1(211)12)(12( )2( 2 ???????? nnnn na n （ 3） ])2)(1(1)1( 1[21)2)(1( 1 ???????? nnnnnnna n等。 6 例 5 求數(shù)列 ?????????? ,11,32 1,21 1 nn的前 n 項(xiàng)和 . 解：設(shè) nnnna n ?????? 111 （裂項(xiàng)） 則 1132 121 1 ??????????? nnS n （裂項(xiàng)求和） ＝ )1()23()12( nn ?????????? ＝ 11??n 例 6（ 06 高考湖北卷理 17）已知二次函數(shù) ()y f x? 的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為39。( ) 6 2f x x??，數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，點(diǎn) ( , )( )nn S n N ?? 均在函數(shù) ()y f x? 的圖像上。 （Ⅰ）求數(shù) 列 {}na 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè) 11nnnb aa?? ， nT 是數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和，求使得 20nmT? 對(duì)所有 nN?? 都成立的最小正整數(shù) m； 解：（Ⅰ）設(shè)這二次函數(shù) f(x)＝ ax2+bx (a≠ 0) ,則 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x－ 2,得 a=3 , b=－ 2, 所以 f(x)＝ 3x2－ 2x. 又因?yàn)辄c(diǎn) ( , )( )nn S n N?? 均在函數(shù) ()y f x? 的圖像上，所以 nS ＝ 3n2－ 2n. 當(dāng) n≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn－ 1＝（ 3n2－ 2n）－ ? ?)1(2)13 2 ??? nn（ ＝ 6n－ 5. 當(dāng) n＝ 1 時(shí)， a1＝ S1＝ 312－ 2＝ 61－ 5，所以， an＝ 6n－ 5 （ nN?? ） （Ⅱ）由（ Ⅰ）得知 13?? nnn aab ＝ ? ?5)1(6)56(3 ??? nn＝ )16 156 1(21 ??? nn ， 故 Tn＝ ??ni ib1 ＝ 21 ?????? ???????? )16 156 1(...)13171()711( nn＝ 2 （ 1－ 161?n ） . 因此，要使 21 （ 1－ 161?n ） 20m （ nN?? ）成立的 m,必須且僅須滿足 21 ≤ 20m ，即 m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù) m 為 10. 評(píng)析：一般地，若數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列，且公差不為 0，首項(xiàng)也不為 0，則求和： ?? ?ni iiaa1 11 7 首先考慮 ??? ?ni iiaa1 11 ?? ??ni ii aad1 1 )11(1則 ?? ?ni iiaa1 11= 1111 )11(1?? ?? nn aanaad。下列求和：?? ??ni ii aa1 11 也可用裂項(xiàng)求和法。 五、分組求和法 所謂分組法求和就是：對(duì)一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。 例 7 數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和 12 ?? nn aS ，數(shù)列 {bn}滿 )(,3 11 ?? ???? Nnbabb nnn . （ Ⅰ ）證明數(shù)列 {an}為等比數(shù)列；（ Ⅱ ）求數(shù)列 {bn}的前 n 項(xiàng)和 Tn。 解析：（Ⅰ）由 12,12 11 ?????? ??? nnnn aSNnaS ， 兩式相減得： ,22 11