導數(shù)壓軸選擇題(編輯修改稿)
2025-04-21 00:40 本頁面
【文章內容簡介】 +2sinx易知，此函數(shù)是奇函數(shù)，且在整個區(qū)間單調遞增，因為f39。（x）=x^2+2cosx在x∈（0，2】＞0恒成立根據奇函數(shù)的性質可得出，在其對應區(qū)間上亦是單調遞增的f（1+x）+f（x^2﹣x）＞0f（1+x）＞﹣f（x^2﹣x）即：f（1+x）＞f（x﹣x^2） ﹣2＜x+1＜2（保證有意義）﹣2＜x^2﹣x＜2（保證有意義）x+1＞x﹣x^2（單調性得到的）解得即可故答案為A10．解：f′（x）== ∵0＜x≤1＜時，x＜tanx∴f′（x）＜0，故函數(shù)單調遞減，所以當0＜x1＜x2＜1時，f（x1）＞f（x2）即a＞b故選A11．解：∵f（x）=∴f′（x）=x2+ax+2b∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內取得極大值，在區(qū)間（1，2）內取得極小值∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）內各有一個根f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0即（a+3）2+b2表示點（a，b）到點（﹣3，0）的距離的平方，由圖知（﹣3，0）到直線a+b+2=0的距離，平方為為最小值，由得（﹣3，1）（﹣3，0）與（﹣3，1）的距離為1，（﹣3，0）與（﹣1，0）的距離2，所以z=（a+3）2+b2的取值范圍為（）故選項為B12．解：由函數(shù)f（x）=（a﹣3）x﹣ax3 求導函數(shù)為：f′（x）=﹣3ax2+（a﹣3），①當a=0時，f（x）=﹣3x，此時函數(shù)在定義域內單調遞減，所以函數(shù)的最小值為：f（1）=﹣3，符合題意，所以a=0符合題意；②當a≠0時，f‘（x）=0，即 3ax2=a﹣3 （I）當0＜a≤3時，f′（x）=﹣3ax2+（a﹣3）為開口向下的二次函數(shù)，且△=12a（a﹣3）≤0，f‘（x）≤0恒成立所以函數(shù)f（x）在定義域上為單調遞減函數(shù)，函數(shù)的最小值為f（1）=﹣3，此時符合題意；（II）當a＜0或a＞3時，f′（x）=0，即 3ax2=a﹣3 解得：，①當，即a，函數(shù)f（x）在[﹣1，﹣]上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以此時函數(shù)在定義域的最小值為f（﹣1）=﹣3或f（﹣）= 令 解得：a∈φ，即時，函數(shù)在定義域上始終單調遞減，則函數(shù)在定義域上的最小值為f（1）=﹣3，符合題意．綜上所述：當即 時符合題意．故選B 13．解：在區(qū)間[，3]內，函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax，有三個不同的零點，①a＞0若x∈[1，3]時，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx﹣ax，（x＞0）g′（x）=﹣a=，若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）為減函數(shù)，若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）為增函數(shù)，此時g（x）必須在[1，3]上有兩個交點，∴，解得，≤a＜① 設 ＜x＜1，可得1＜＜3，∴f（x）=2f（ ）=2ln ，此時g（x）=﹣2lnx﹣ax，g′（x）=﹣，若g′（x）＞0，可得x＜﹣＜0，g（x）為增函數(shù)若g′（x）＜0，可得x＞﹣，g（x）為減函數(shù)，在[，1]上有一個交點，則 ，解得0＜a≤6ln3②綜上①②可得 ≤a＜；②若a＜0，對于x∈[1，3]時，g（x）=lnx﹣ax＞0，沒有零點，不滿足在區(qū)間[，3]內，函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax，有三個不同的零點，③a=0，顯然只有一解，舍去綜上：≤a＜．故答案為：≤a＜．14．解：∵g（x）=x﹣lnx∴g39。（x）=1﹣，x∈[1，e]，g39。（x）≥0 函數(shù)g（x）單調遞增g（x）的最大值為g（e）=e﹣1∵f（x）=x+∴f39。（x）=，令f39。（x）=0∵a＞0∴x=a當0＜a＜1 f（x）在[1，e]上單調增 f（1）最小=1+a2≥e﹣1∴1＞a≥當1≤a≤e 列表可知 f（a）最小=2a≥e﹣1 恒成立當a＞e時 f（x）在[1，e]上單調減 f（e）最小=≥e﹣1 恒成立綜上a≥故答案為：a≥15．解：∵函數(shù)f（x）=﹣x3+bx（b為常數(shù)），∴f（x）=x（﹣x2+b）=0的三個根都在區(qū)間[﹣2，2]內，∴，b≤4函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，∴f′（x）=﹣3x2+b＞0在區(qū)間（0，1）上恒成立，∴b≥3綜上可知3≤b≤4，故答案為：[3，4]16．解：∵f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3（x﹣1）（x+1），當x∈[﹣2，﹣1]，f′（x）≥0，x∈（﹣1，1），f′（x）＜0；x∈（1，2]，f′（x）＞0．∴f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函數(shù)，（﹣1，1）上遞減，（1，2）遞增；且f（﹣2）=﹣2，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（2）=2．∴f（x）的值域A=[﹣2，2]；又∵g（x）=ax+1（a＞0）在[﹣2，2]上是增函數(shù)，∴g（x）的值域B=[﹣2a﹣1，2a﹣1]；根據題意，有A?B∴?a≥．同理g（x）=ax+1（a＜0）在[﹣2，2]上是減函數(shù)，可
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