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高考導(dǎo)數(shù)壓軸題型歸類(lèi)總結(jié)-文庫(kù)吧在線(xiàn)文庫(kù)

  

【正文】 式恒成立,求M的最小值。當(dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有。當(dāng)時(shí)。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).⑶證明:①若 ②若∴根據(jù)①②得由⑵可知,,則=,所以,從而.因?yàn)椋?,又由⑴可知函?shù)在區(qū)間(-∞,1)內(nèi)是增函數(shù),所以,即2.88. (2010天津理數(shù)21,綜合運(yùn)用)已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;⑵已知函數(shù)對(duì)任意滿(mǎn)足,證明:當(dāng)時(shí),⑶如果,且,證明:解:⑴∵=,∴=.                   (2分)令=0,解得.2+0-↗極大值↘∴在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).           (3分)∴當(dāng)時(shí),取得極大值=.  (4分)⑵證明:,則=.              (6分)當(dāng)時(shí),<0,>3,從而<0,∴>0,在是增函數(shù).                (7分)        (8分)⑶證明:∵在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù). ∴當(dāng),且,、不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).不妨設(shè),由⑵可知,又,∴.∵,∴.∵,且在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),∴,即                    (12分)89. 已知函數(shù)(1) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2) 若函數(shù)對(duì)任意滿(mǎn)足,求證:當(dāng),(3) 若,且,求證:解:⑴∵=,∴=.           (2分)令=0,解得.2+0-↗極大值↘∴在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).           (3分)∴當(dāng)時(shí),取得極大值=.  (4分)⑵證明:,,∴=.             (6分)當(dāng)時(shí),<0,>4,從而<0,∴>0,在是增函數(shù).       (8分)⑶證明:∵在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù). ∴當(dāng),且,、不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).不妨設(shè),由⑵可知,又,∴.∵,∴.∵,且在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),∴,即90. 已知函數(shù),(Ⅰ)若,求的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)對(duì)于任意的,比較與的大小,并說(shuō)明理由.解:(Ⅰ),1分①當(dāng)時(shí),在上恒成立,的遞增區(qū)間為;2分②當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為;3分 ③當(dāng)時(shí),的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為;4分(Ⅱ)令,令,在上恒成立,當(dāng)時(shí),成立,在上恒成立,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),恒成立,當(dāng)時(shí),恒成立, 對(duì)于任意的時(shí),又,即.91. (2011遼寧理21,利用2的對(duì)稱(chēng))已知函數(shù).⑴討論的單調(diào)性;⑵設(shè),證明:當(dāng)時(shí),;(作差)⑶若函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn),線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,證明:.解:⑴ ①若單調(diào)增加.②若且當(dāng)所以單調(diào)增加,在單調(diào)減少. ⑵設(shè)函數(shù)則當(dāng).故當(dāng), ⑶由⑴可得,當(dāng)?shù)膱D像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn),故,從而的最大值為不妨設(shè)由⑵得從而由⑴知, 92. (恒成立,思路不常見(jiàn))已知函數(shù),其中為實(shí)數(shù). (1)當(dāng)時(shí),求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程; (2)是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意,恒成立?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由,若存在,求出的值并加以證明.解:⑴時(shí),又,所以切線(xiàn)方程為.⑵①當(dāng)時(shí),則令,再令,當(dāng)時(shí),∴在上遞減,∴當(dāng)時(shí),∴,所以在上遞增,所以②時(shí),則由①知當(dāng)時(shí),在上遞增當(dāng)時(shí),所以在上遞增,∴,∴;由①②得.93. 已知函數(shù),在區(qū)間上有最大值4,最小值1,設(shè).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)的范圍;(Ⅲ)方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的范圍.解:(Ⅰ)(1) 當(dāng)時(shí),上為增函數(shù) 故 當(dāng)上為減函數(shù)故 即. .(Ⅱ)方程化為,令,∵ ∴ 記∴ ∴ (Ⅲ)方程化為,令, 則方程化為 ()∵方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,∴由的圖像知,有兩個(gè)根、 且 或 , 記則 或 ∴94. 已知函數(shù), 設(shè) (1)是否存在唯一實(shí)數(shù),使得,若存在,求正整數(shù)m的值;若不存在,說(shuō)明理由。97. (2010湖南文數(shù),另類(lèi)區(qū)間)已知函數(shù)其中a0,且a≠1.(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)設(shè)函數(shù)(e是自然數(shù)的底數(shù))?!?2分95. (第3問(wèn)難想)已知函數(shù),其中e是自然數(shù)的底數(shù)。 (1)求的取值范圍; (2)若對(duì)任意的,都有(e是自然對(duì)數(shù)的底),求滿(mǎn)足條件的最大整數(shù)的值?!吆瘮?shù)在處與直線(xiàn)相切解得 .②當(dāng)時(shí),令得;令,得,上單調(diào)遞增,在[1,e]上單調(diào)遞減,. (2)當(dāng)b=0時(shí),若不等式對(duì)所有的都成立,則對(duì)所有的都成立,即對(duì)所有的都成立,令為一次函數(shù), .上單調(diào)遞增,對(duì)所有的都成立...(注:也可令所有的都成立,分類(lèi)討論得對(duì)所有的都成立,請(qǐng)根據(jù)過(guò)程酌情給分)恒成立之討論字母范圍76. (2007全國(guó)I,利用均值,不常見(jiàn))設(shè)函數(shù).⑴證明:的導(dǎo)數(shù);⑵若對(duì)所有都有,求的取值范圍.解:⑴的導(dǎo)數(shù).由于,故.(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立).⑵令,則,①若,當(dāng)時(shí),故在上為增函數(shù),所以,時(shí),即.②若,方程的正根為,此時(shí),若,則,故在該區(qū)間為減函數(shù).所以,時(shí),即,與題設(shè)相矛盾.綜上,滿(mǎn)足條件的的取值范圍是.77. 設(shè)函數(shù)f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)-g(x).(Ⅰ)若x=0是F(x)的極值點(diǎn),求a的值;(Ⅱ)當(dāng) a=1時(shí),設(shè)P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x10,x20), 且PQ//x軸,求P、Q兩點(diǎn)間的最短距離;(Ⅲ):若x≥0時(shí),函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F(-x)的圖象上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(Ⅰ)F(x)= ex+sinx-ax,.因?yàn)閤=0是F(x)的極值點(diǎn),所以. 又當(dāng)a=2時(shí),若x0, 。設(shè),則。解:⑴,或1令,解得令,解得,的增區(qū)間為;減區(qū)間為,⑵,即由題意兩根為,又且△,.設(shè),或2+00+極大值極小值又, ,.恒成立之分離常數(shù)65. (分離常數(shù))已知函數(shù)(1) 若在處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2) 若,且對(duì)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解: (1) 定義域?yàn)?直線(xiàn)的斜率為,.所以 由。 綜上所述,所求的取值范圍為⑶由⑵知:當(dāng)時(shí),有.令,有當(dāng)時(shí),令,有 即 ,將上述個(gè)不等式依次相加得,整理得.57. 已知的圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行.(1)求a,b滿(mǎn)足的關(guān)系式;(2)若上恒成立,求a的取值范圍;(3)證明: (n∈N*)解:(Ⅰ),根據(jù)題意,即. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 令, 則,= ①當(dāng)時(shí), , 若,則,在減函數(shù),所以,即在上恒不成立. ②時(shí),當(dāng)時(shí),在增函數(shù),又,所以.綜上所述,所求的取值范圍是.(Ⅲ)由(Ⅱ)知當(dāng)時(shí),在上恒成立.取得令,得,即,所以上式中n=1,2,3,…,n,然后n個(gè)不等式相加得58. 已知函數(shù) (1)求函數(shù)的極值點(diǎn)。替換構(gòu)造不等式證明不等式52. (第3問(wèn)用第2問(wèn))已知,直線(xiàn)與函數(shù)的圖像都相切,且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1。當(dāng)及時(shí),故在單調(diào)減少,在單調(diào)增加。函數(shù)在和上單調(diào)遞增 ②當(dāng)時(shí),即時(shí), 顯然,函數(shù)在上單調(diào)遞增; ③當(dāng)時(shí),即時(shí), 令,解得或函數(shù)在和上單調(diào)遞增.綜上所述:⑴當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增⑵當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增⑶當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;⑷當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增.(Ⅱ)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線(xiàn)”.設(shè),是曲線(xiàn)上的不同兩點(diǎn),且,則,. .曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率, 依題意得:.化簡(jiǎn)可得 , 即=. 設(shè) (),上式化為:,令,.因?yàn)?顯然,所以在上遞增,顯然有恒成立.所以在內(nèi)不存在,使得成立. 綜上所述,函數(shù)不存在“中值相依切線(xiàn)”19. (2011天津理19,綜合應(yīng)用)已知,函數(shù),.(的圖象連續(xù))⑴求的單調(diào)區(qū)間;⑵若存在屬于區(qū)間的,且,使,證明:.解:⑴,.令,則.當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:?jiǎn)握{(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以的單調(diào)增區(qū)間是,單調(diào)減區(qū)間是.⑵由及的單調(diào)性知.從而在區(qū)間上的最小值為.又由,則.所以即所以.20. (恒成立,直接利用最值)已知函數(shù),⑴若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),求;⑵討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;⑶若對(duì)于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范圍.解:⑴,因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)極值點(diǎn),所以,得.又,所以. ⑵因?yàn)榈亩x域是,.①當(dāng)時(shí),列表+-+增減增在,是增函數(shù);在是減函數(shù).②當(dāng)時(shí),在是增函數(shù).③當(dāng)時(shí),列表+-+增減增在,是增函數(shù);在是減函數(shù).⑶21. (最值與圖象特征應(yīng)用)設(shè),函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).⑴判斷的單調(diào)性;⑵若上恒成立,求a的取值范圍.解:⑴∵ 令①當(dāng)在R上為減函數(shù).②當(dāng)在R上為減函數(shù). ③當(dāng)時(shí),由得由得上為增函數(shù);上為減函數(shù). ⑵由⑴知①當(dāng)上為減函數(shù).②當(dāng)在[1,2]上不恒成立,∴a的取值范圍是 22. (單調(diào)性)已知=ln(x+2)-x2+bx+c⑴若函數(shù)在點(diǎn)(1,y)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)3x+7y+2=0垂直,且f(-1)=0,求函數(shù)在區(qū)間[0,3]上的最小值;⑵若在區(qū)間[0,m]上單調(diào),求b的取值范圍.解:⑴,依題意令= ,=0,解得b=4,c=5. x0(0,)(,3)3y′+0-yln2+5極大8+ln5因?yàn)?+ln55+ln2 ∴x=0時(shí)在[0,3]上最小值=5+ln2.⑵若在區(qū)間[0,m]上單調(diào),有兩種可能 ①令≥0得b≥2x-,在[0,m]上恒成立 而y=2x-在[0,m]上單調(diào)遞增,最大值為2m-,∴b≥2m-. ②令≤0 得b≤2x-,而 y=2x-在[0,m]單增,最小為y=-,∴b≤-.故b≥2m-或b≤-時(shí)在[0,m]上單調(diào).23. (單調(diào)性,用到二階導(dǎo)數(shù)的技巧) 已知函數(shù) ⑴若,求的極大值; ⑵若在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,求滿(mǎn)足此條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍.解:⑴定義域?yàn)?令 由由即上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減時(shí),F(xiàn)(x)取得極大值 ?、频亩x域?yàn)?0,+∞),由G (x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減知:在(0,+∞)內(nèi)恒成立令,則 由∵當(dāng)時(shí)為增函數(shù)當(dāng)時(shí),為減函數(shù)∴當(dāng)x = e時(shí),H(x)取最大值故只需恒成立,又當(dāng)時(shí),只有一點(diǎn)x = e使得不影響其單調(diào)性 二、交點(diǎn)與根的分布24. (2008四川22,交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的分布)已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).⑴求;⑵求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;⑶若直線(xiàn)與函數(shù)的圖像有個(gè)交點(diǎn),求的取值范圍.解:⑴,是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).,⑵由⑴, 令,得,和隨的變化情況如下:1300增極大值減極小值增的增區(qū)間是,;減區(qū)間是(1,3).⑶由②知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.∴,.又時(shí),;時(shí),;可據(jù)此畫(huà)出函數(shù)的草圖(圖略),由圖可知,當(dāng)直線(xiàn)與函數(shù)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)時(shí),的取值范圍為.25. 已知函數(shù)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn).(1)求的值; (2)若1是其中一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍;(3)若,試問(wèn)過(guò)點(diǎn)(2,5)可作多少條直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=g(x)相切?請(qǐng)說(shuō)明理由.⑶=2x+lnx,設(shè)過(guò)點(diǎn)(2,5)與曲線(xiàn)g (x)的切線(xiàn)的切點(diǎn)坐標(biāo)為∴,即 ∴,令h(x)=,∴==0,∴∴h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,)上單調(diào)遞增又,h(2)=ln210,∴h(x)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),∴過(guò)點(diǎn)(2,5)可作2條曲線(xiàn)y=g(x)的切線(xiàn).26. (交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的分布)已知函數(shù)⑴求在區(qū)間上的最大值⑵是否存在實(shí)數(shù)使得的圖像與的圖像有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由。4. (最值,按區(qū)間端點(diǎn)討論)已知函數(shù)f(x)=lnx-.(1)當(dāng)a0時(shí),判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為,求a的值.解:(1)由題得f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且 f ′(x)=+=.∵a0,∴f ′(x)0,故f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).(2)由(1)可知:f ′(x)=,①若a≥-1,則x+a≥0,即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此時(shí)f(x)在[1,e]上為增
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