【正文】 97. （2010湖南文數(shù)，另類區(qū)間）已知函數(shù)其中a0,且a≠1.（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)（e是自然數(shù)的底數(shù)）?！?2分95. (第3問難想)已知函數(shù)，其中ｅ是自然數(shù)的底數(shù)。又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).⑶證明：①若 ②若∴根據(jù)①②得由⑵可知，,則=，所以,從而.因為，所以，又由⑴可知函數(shù)在區(qū)間（－∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，所以,即2.88. （2010天津理數(shù)21，綜合運用）已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；⑵已知函數(shù)對任意滿足，證明：當時，⑶如果，且，證明：解：⑴∵=，∴=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)令=0，解得.2＋0－↗極大值↘∴在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù). 　　　　　　　　　　(3分)∴當時，取得極大值=.　 (4分)⑵證明：,則=.　　　　　　　　　　　　 　(6分)當時，＜0，＞3，從而＜0，∴＞0，在是增函數(shù).　　　　　　　　　　　　　　　　(7分) 　　　 　 　(8分)⑶證明：∵在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù). ∴當，且，、不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).不妨設(shè)，由⑵可知，又，∴.∵，∴.∵，且在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，∴，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12分)89. 已知函數(shù)(1) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2) 若函數(shù)對任意滿足,求證：當,(3) 若，且，求證：解：⑴∵=，∴=.　　　　　　　　　　　(2分)令=0，解得.2＋0－↗極大值↘∴在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù). 　　　　　　　　　　(3分)∴當時，取得極大值=.　 (4分)⑵證明：，,∴=.　　　　　　　　　　　 　(6分)當時，＜0，＞4，從而＜0，∴＞0，在是增函數(shù). 　　　　 　(8分)⑶證明：∵在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù). ∴當，且，、不可能在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).不妨設(shè)，由⑵可知，又，∴.∵，∴.∵，且在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，∴，即90. 已知函數(shù)，（Ⅰ）若，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）對于任意的，比較與的大小，并說明理由．解：（Ⅰ），1分①當時，在上恒成立，的遞增區(qū)間為；2分②當時，的遞增區(qū)間為；3分 ③當時，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；4分（Ⅱ）令，令，在上恒成立，當時，成立，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，當時，恒成立，當時，恒成立， 對于任意的時，又，即．91. （2011遼寧理21，利用2的對稱）已知函數(shù)．⑴討論的單調(diào)性；⑵設(shè)，證明：當時，；（作差）⑶若函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為，證明：.解：⑴ ①若單調(diào)增加.②若且當所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少. ⑵設(shè)函數(shù)則當.故當， ⑶由⑴可得，當?shù)膱D像與x軸至多有一個交點，故，從而的最大值為不妨設(shè)由⑵得從而由⑴知， 92. （恒成立，思路不常見）已知函數(shù)，其中為實數(shù)． (1)當時，求曲線在點處的切線方程； (2)是否存在實數(shù)，使得對任意，恒成立?若不存在，請說明理由，若存在，求出的值并加以證明．解：⑴時，又，所以切線方程為.⑵①當時，則令，再令，當時，∴在上遞減，∴當時，∴，所以在上遞增，所以②時，則由①知當時，在上遞增當時，所以在上遞增，∴，∴；由①②得.93. 已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設(shè)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）不等式在上恒成立，求實數(shù)的范圍；（Ⅲ）方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的范圍．解:（Ⅰ）(1) 當時，上為增函數(shù) 故 當上為減函數(shù)故 即. .（Ⅱ）方程化為，令，∵ ∴ 記∴ ∴ （Ⅲ）方程化為，令， 則方程化為 （）∵方程有三個不同的實數(shù)解，∴由的圖像知，有兩個根、 且 或 ， 記則 或 ∴94. 已知函數(shù)， 設(shè) （1）是否存在唯一實數(shù)，使得，若存在，求正整數(shù)m的值；若不存在，說明理由。 （1）求的取值范圍； （2）若對任意的，都有（e是自然對數(shù)的底），求滿足條件的最大整數(shù)的值。當時?！吆瘮?shù)在處與直線相切解得 .②當時，令得；令，得，上單調(diào)遞增，在[1，e]上單調(diào)遞減，. （2）當b=0時，若不等式對所有的都成立，則對所有的都成立，即對所有的都成立，令為一次函數(shù)， .上單調(diào)遞增，對所有的都成立...（注：也可令所有的都成立，分類討論得對所有的都成立，請根據(jù)過程酌情給分）恒成立之討論字母范圍76. （2007全國I，利用均值，不常見）設(shè)函數(shù)．⑴證明：的導(dǎo)數(shù)；⑵若對所有都有，求的取值范圍．解：⑴的導(dǎo)數(shù)．由于，故．（當且僅當時，等號成立）．⑵令，則，①若，當時，故在上為增函數(shù)，所以，時，即．②若，方程的正根為，此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)．所以，時，即，與題設(shè)相矛盾．綜上，滿足條件的的取值范圍是．77. 設(shè)函數(shù)f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).(Ⅰ)若x=0是F(x)的極值點,求a的值；(Ⅱ)當 a=1時,設(shè)P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x10,x20), 且PQ//x軸,求P、Q兩點間的最短距離；(Ⅲ):若x≥0時,函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F(－x)的圖象上方,求實數(shù)a的取值范圍．解：(Ⅰ)F(x)= ex+sinx－ax,.因為x=0是F(x)的極值點,所以. 又當a=2時,若x0, 。當時，有，當時，有。設(shè)，則。解：（1） ,當時，即. 當時，即或. 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由時，即，由（1）可知在上遞增， 在遞減，所以在區(qū)間（－1，0）上，當時，取得極大值，即最大值為.在區(qū)間上，.（3），兩邊取自然對數(shù)得68. （分離常數(shù)）已知函數(shù) ．（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間其中a 0，上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）如果當時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；解：（Ⅰ）因為， x 0，則， 當時，；當時，．所以在（0，1）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值． 因為函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，所以 解得． （Ⅱ）不等式即為 記所以 令，則， ， 在上單調(diào)遞增， ，從而，故在上也單調(diào)遞增， 所以，所以 ．69. （2010湖南，分離常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)）已知函數(shù) 對任意的恒有.⑴證明：當⑵若對滿足題設(shè)條件的任意b、c，不等式恒成立，求M的最小值。解：⑴，或1令，解得令，解得，的增區(qū)間為；減區(qū)間為，⑵，即由題意兩根為，又且△，.設(shè)，或2+00+極大值極小值又， ，.恒成立之分離常數(shù)65. （分離常數(shù)）已知函數(shù)(1) 若在處的切線平行于直線，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若，且對時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解: (1) 定義域為,直線的斜率為,.所以 由?！鄷r，取得極大值。 綜上所述，所求的取值范圍為⑶由⑵知：當時，有.令，有當時，令，有 即 ，將上述個不等式依次相加得,整理得.57. 已知的圖像在點處的切線與直線平行.（1）求a，b滿足的關(guān)系式；（2）若上恒成立，求a的取值范圍；（3）證明： （n∈N*）解：（Ⅰ），根據(jù)題意，即. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 令， 則，= ①當時， ， 若，則，在減函數(shù)，所以，即在上恒不成立． ②時，當時，在增函數(shù)，又，所以．綜上所述，所求的取值范圍是.（Ⅲ）由（Ⅱ）知當時，在上恒成立．取得令，得，即,所以上式中n=1，2，3，…，n，然后n個不等式相加得58. 已知函數(shù) （1）求函數(shù)的極值點。，取最大值，其最大值為2。替換構(gòu)造不等式證明不等式52. （第3問用第2問）已知，直線與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點的橫坐標為1。 令,解得．……………4分 所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減綜上所述，⑴當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；⑵當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增；⑶當時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．……………5分（Ⅱ）假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”． 設(shè),是曲線上的不同兩點，且， 則 ……………7分 曲線在點處的切線斜率，……………8分依題意得：．化簡可得： ，即=． ……………10分 設(shè) （），上式化為：, 即． ………12分 令,． 因為,顯然，所以在上遞增,顯然有恒成立． 所以在內(nèi)不存在,使得成立． 綜上所述，假設(shè)不成立．所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”．……………14分46. 已知函數(shù).（1）若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，設(shè)函數(shù)，若，求證解：（1）,，即在上恒成立設(shè),，時，單調(diào)減，單調(diào)增，所以時，有最大值.，所以.（2）當時，,所以在上是增函數(shù)，上是減函數(shù).因為，所以即,同理.所以又因為當且僅當“”時，取等號.又，,所以,所以，所以：.47. 已知．(1) 求函數(shù)在上的最小值；(2) 對一切，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3) 證明: 對一切，都有成立．解： (1) ，當，單調(diào)遞減，當，單調(diào)遞增．① ，t無解；② ，即時，；③ ，即時，在上單調(diào)遞增，；所以． (2)，則，設(shè)，則，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，恒成立，所以；（3） 問題等價于證明，由⑴可知的最小值是，當且僅當時取到，設(shè)，則，易得，當且僅當時取到，從而對一切，都有成立．48. （2011陜西21，變形構(gòu)造，反比例）設(shè)函數(shù)定義在上，導(dǎo)函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）討論與的大小關(guān)系；（3）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出 的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：（1）∵，∴（為常數(shù)），又∵，所以，即，∴；，∴，令，即，解得，當時，是減函數(shù)，故是函數(shù)的減區(qū)間；當時，是增函數(shù)，故是函數(shù)的增區(qū)間；所以是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以的最小值是．（2），設(shè)，則，當時，即，當時，因此函數(shù)在內(nèi)遞減，當時，=0，∴；當時，=0，∴． （3）滿足條件的不存在．證明如下：證法一 假設(shè)存在，使對任意成立，即對任意有 ①但對上述的，取時，有，這與①左邊的不等式矛盾，因此不存在，使對任意成立．證法二 假設(shè)存在，使對任意成立，由（1）知，的最小值是，又，而時，的值域為，∴當時，的值域為，從而可以取一個值，使，即,∴，這與假設(shè)矛盾．∴不存在，使對任意成立．49. 已知函數(shù)，（Ⅰ）求的極值（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范圍（Ⅲ）已知，且，求證解：（1）∵，令得 ，為增函數(shù)，為減函數(shù)∴有極大值 ……………………4分（2）欲使＜在上恒成立， 只需 在上恒成立設(shè)，為增函數(shù),，為減函數(shù)∴時，是最大值 只需，即………8分 （3）∵由（2）可知在上單調(diào)增， ，那，同理相加得 ，∴， 得： .50. 已知函數(shù)的圖象為曲線, 函數(shù)的圖象為直線.(Ⅰ) 當時, 求的最大值。當及時，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。33. 已知函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間[1，1]上的減函數(shù). （I）求的最大值； （II）若上恒成立，求t的取值范圍； （Ⅲ）討論關(guān)于x的方程的根的個數(shù)．解：（I），上單調(diào)遞減，在[1，1]上恒成立，故的最大值為（II）由題意（其中），恒成立，令，則，恒成立，（Ⅲ）由 令當[來源上為增函數(shù)；當時，為減函數(shù)；當[來源:學(xué)*科*網(wǎng)]而方程無解；當時，方程有一個根；當時，方程有兩個根.三、不等式證明作差證明不等式34. （2010湖南，最值、作差構(gòu)造函數(shù)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，求證：≤≤x．解：(1)函數(shù)f (x)的定義域為(－1，+∞),，由 得：，∴x＞0,∴f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，+∞).(2)證明：由(1)得x∈(－1，0)時，當x∈(0，+∞)時，且∴x＞－1時，f (x)≤f (0)，∴≤0，≤x 令，則，∴－1＜x＜0時，x＞0時，且∴x＞－1時，g (x)≥g (0)，即≥0 ∴≥，∴x＞－1時，≤≤x．35. （2007湖北20