【正文】 .. . . ..導(dǎo)數(shù)壓軸題型歸類總結(jié)目　　錄一、導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值、最值的直接應(yīng)用 （1）二、交點(diǎn)與根的分布?。?3）三、不等式證明?。?1）（一）作差證明不等式　（二）變形構(gòu)造函數(shù)證明不等式（三）替換構(gòu)造不等式證明不等式四、不等式恒成立求字母范圍?。?1）（一）恒成立之最值的直接應(yīng)用（二）恒成立之分離常數(shù)（三）恒成立之討論字母范圍五、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用?。?0）六、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題　（84）七、導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角函數(shù)?。?5）書中常用結(jié)論⑴，變形即為，其幾何意義為上的的點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率小于1.⑵⑶⑷.一、導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值、最值的直接應(yīng)用1. （切線）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線為，與軸交于點(diǎn)求證：.解：(1)時(shí)，由，解得. 的變化情況如下表：010+0↘極小值↗0 所以當(dāng)時(shí)，有最小值.(2)證明：曲線在點(diǎn)處的切線斜率 曲線在點(diǎn)P處的切線方程為. 令，得，∴ ∵，∴，即. 又∵，∴ 所以.2. （2009天津理20，極值比較討論）已知函數(shù)其中⑴當(dāng)時(shí)，求曲線處的切線的斜率； ⑵當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法。⑴⑵ 以下分兩種情況討論：①＞，則＜.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗ ②＜，則＞，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗ 3. 已知函數(shù)⑴設(shè)兩曲線有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同，若，試建立 關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值；⑵若在(0,4)上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。4. （最值，按區(qū)間端點(diǎn)討論）已知函數(shù)f(x)=lnx－.(1)當(dāng)a0時(shí)，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性；(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為，求a的值.解：(1)由題得f(x)的定義域?yàn)?0,＋∞)，且 f ′(x)＝＋＝.∵a0，∴f ′(x)0，故f(x)在(0,＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).(2)由(1)可知：f ′(x)＝，①若a≥－1，則x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此時(shí)f(x)在[1,e]上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－ (舍去). ②若a≤－e，則x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此時(shí)f(x)在[1,e]上為減函數(shù)，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).③若－ea－1，令f ′(x)＝0，得x＝－a.當(dāng)1x－a時(shí)，f ′(x)0，∴f(x)在(1,－a)上為減函數(shù)；當(dāng)－axe時(shí)，f ′(x)0，∴f(x)在(－a,e)上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝?a＝－.綜上可知：a＝－.5. （最值直接應(yīng)用）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）若是的極值點(diǎn)，求的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范圍.解：（Ⅰ）.依題意，令，解得 . 經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，符合題意. （Ⅱ）解：① 當(dāng)時(shí)，.故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是.② 當(dāng)時(shí)，令，得，或.當(dāng)時(shí)，與的情況如下：↘↗↘所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí)，與的情況如下：↘↗↘所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和.③ 當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是.綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是；減區(qū)間是和.（Ⅲ）由（Ⅱ）知 時(shí)，在上單調(diào)遞增，由，知不合題意.當(dāng)時(shí)，在的最大值是，由，知不合題意.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，可得在上的最大值是，符合題意. 所以，在上的最大值是時(shí)，的取值范圍是.6. （2010北京理數(shù)18）已知函數(shù)=ln(1+)+(≥0).(Ⅰ)當(dāng)=2時(shí)，求曲線=在點(diǎn)(1,(1))處的切線方程；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間.解：（I）當(dāng)時(shí)，由于，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 即（II），.當(dāng)時(shí)，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，. 故得單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)， 故得單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，得，.所以沒(méi)在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是7. （2010山東文21，單調(diào)性）已知函數(shù) ⑴當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； ⑵當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性.解：⑴⑵因?yàn)?， 所以 ， 令 8. (是一道設(shè)計(jì)巧妙的好題，同時(shí)用到e底指、對(duì)數(shù)，需要構(gòu)造函數(shù)，證存在且唯一時(shí)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理不好想，⑴⑵聯(lián)系緊密)已知函數(shù)⑴若函數(shù)φ (x) = f (x)－，求函數(shù)φ (x)的單調(diào)區(qū)間；⑵設(shè)直線l為函數(shù)f (x)的圖象上一點(diǎn)A(x0，f (x0))處的切線，證明：在區(qū)間(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y=g(x)相切．解：（Ⅰ） ，．∵且，∴∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為． （Ⅱ）∵ ，∴，∴ 切線的方程為, 即, ① 設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，∵，∴，∴,∴. ∴直線也為， 即， ② 由①②得 ，∴． 下證：在區(qū)間（1,+）上存在且唯一.由（Ⅰ）可知，在區(qū)間上遞增．又，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，說(shuō)明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個(gè)根就是所求的唯一，故結(jié)論成立．9. （最值應(yīng)用，轉(zhuǎn)換變量）設(shè)函數(shù)．(1)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：⑴．當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為，．當(dāng)時(shí)，減區(qū)間為．當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為，．⑵由⑴知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，∴，≤，即≤．∵恒成立，∴＞，即，又，∴．∵，∴，∴≤．10. （最值應(yīng)用）已知二次函數(shù)對(duì)都滿足且，設(shè)函數(shù)（，）．（Ⅰ）求的表達(dá)式；（Ⅱ）若，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）設(shè)，求證：對(duì)于，恒有． 解：（Ⅰ）設(shè)，于是所以 又，則．所以． …………3分 （Ⅱ）當(dāng)m0時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，f（x）的值域?yàn)镽；…………4分當(dāng)m=0時(shí)，對(duì)，恒成立； …………5分 當(dāng)m0時(shí)，由，列表：x－0＋減極小增 所以若，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是． 故使成立，實(shí)數(shù)m的取值范圍．…………9分（Ⅲ）因?yàn)閷?duì)，所以在內(nèi)單調(diào)遞減．于是記，則所以函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)， 所以，故命題成立． …………12分11. 設(shè)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).（1）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，若存在，使得 成立，求的取值范圍.解：（1）∵ ∴ 由題意得：，即，∴且令得，∵是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn) ∴，即 故與的關(guān)系式為. 當(dāng)時(shí)，由得單增區(qū)間為：；由得單減區(qū)間為：和；當(dāng)時(shí)，由得單增區(qū)間為：；由得單減區(qū)間為：和；（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，,∴在上的值域?yàn)? 易知在上是增函數(shù), ∴在上的值域?yàn)? 由于，又∵要存在，使得成立，∴必須且只須解得:. 所以，的取值范圍為. 12. ． （1）若，求函數(shù)的極值； （2）若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，試求出關(guān)于的關(guān)系式（用表示），并確定的單調(diào)區(qū)間； （3）在（2）的條件下，設(shè)，函數(shù)．若存在使得成立，求的取值范圍．解:（1）∵當(dāng)時(shí)，,則.令得，∵,∴，解得∵當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，．（2）由（1）知∵是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn) ∴即，解得 則＝令，得或∵是極值點(diǎn)，∴，即 .當(dāng)即時(shí)，由得或由得當(dāng)即時(shí)，由得或由得.綜上可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為。（3）由2）知：當(dāng)a0時(shí)，在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增， ∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 又∵，∴函數(shù)在區(qū)間[0，4]上的值域是，即] 又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)， 且它在區(qū)間[0，4]上的值域是. ∵－＝＝， ∴存在使得成立只須 －1.．13. (2010山東，兩邊分求，最小值與最大值)已知函數(shù).⑴當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；⑵設(shè)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍.解：本題將導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了同學(xué)們分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.（1）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值、利用二次函數(shù)知識(shí)或分離常數(shù)法求出在閉區(qū)間[1,2]上的最大值，然后解不等式求參數(shù).⑴，令①當(dāng)時(shí)，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，由，即，解得.當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，,時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),函數(shù)在遞減,遞增,遞減.⑵當(dāng)時(shí)，在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù)，所以對(duì)任意，有，又已知存在，使，所以，（※）又當(dāng)時(shí)，與（※）矛盾；當(dāng)時(shí)，也與（※）矛盾；當(dāng)時(shí)，.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.14. 設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若對(duì)于]，[0，1]使≥成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.（是自然對(duì)數(shù)的底，）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，∴解得，故點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（Ⅱ）∵ ∴ ∴當(dāng)，或時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且，∵，又，∴，∴，故函數(shù)在上的最小值為若對(duì)于，使 ≥成立在上的最小值不大于在上的最小值（*） 又，①當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，與（*）矛盾②當(dāng)時(shí)，由及得，③當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，此時(shí) 綜上，的取值范圍是15. (2010山東，兩邊分求，最小值與最大值)已知函數(shù)．⑴求在上的最小值；⑵若存在（是常數(shù)，＝）使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；⑶證明對(duì)一切都有成立．解：⑴，⑵由題意知，而，故（Ⅲ）　等價(jià)證明由⑴知．16. （最值應(yīng)用）設(shè)函數(shù)，且，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).⑴求與的關(guān)系；⑵若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；⑶設(shè)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得＞成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意得 而，所以、的關(guān)系為.（2）由（1）知，.令，要使在其定義域內(nèi)單調(diào)，只需恒成立.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以?，＜0，∴在內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，即適合題意；②當(dāng)＞0時(shí)，∴，只需，即，∴在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，故適合題意.③當(dāng)＜0時(shí)，其圖像為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為，只要，即時(shí)，在恒成立，故＜0適合題意. 綜上所述，的取值范圍為.（3）∵在上是減函數(shù)，∴時(shí)，；時(shí)，即，①當(dāng)時(shí)，由（2）知在上遞減＜2，不合題意；②當(dāng)0＜＜1時(shí)，由，又由（2）知當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，∴＜，不合題意；③當(dāng)時(shí)，由（2）知在上是增函數(shù)，＜2，又在上是減函數(shù)，故只需＞，而， 即 ＞2，解得＞ ，綜上，的取值范圍是.17. （2011湖南文，第2問(wèn)難，單調(diào)性與極值，好題）設(shè)函數(shù)⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；⑵若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記過(guò)點(diǎn)的直線斜率為,問(wèn)：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：⑴的定義域?yàn)榱睥佼?dāng)故上單調(diào)遞增．②當(dāng)?shù)膬筛夹∮?，在上，故上單調(diào)遞增．③當(dāng)?shù)膬筛鶠?，?dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．⑵由⑴知，若有兩個(gè)極