高三理數(shù)一輪復(fù)習(xí)：第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-05-14 13:02 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x2在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.【解析】f′(x)＝－x，令－x＝0，化簡(jiǎn)為x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去.又由f′(x)＝－x＞0，且x∈[0,2]，得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，同理， 得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,2)，所以f(1)＝ln 2－為函數(shù)f(x)(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，f(0)＝0為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最大值.【點(diǎn)撥】求函數(shù)f(x)在某閉區(qū)間[a，b]上的最值，首先需求函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值，然后，將f(x)的各個(gè)極值與f(x)在閉區(qū)間上的端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，才能得出函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值.【變式訓(xùn)練3】(2008江蘇)f(x)＝ax3－3x＋1對(duì)x∈[－1,1]總有f(x)≥0成立，則a＝ .【解析】若x＝0，則無(wú)論a為何值，f(x)≥0恒成立.當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)≥0可以化為a≥－，設(shè)g(x)＝－，則g′(x)＝，x∈(0，)時(shí)，g′(x)＞0，x∈(，1]時(shí)，g′(x)＜0.因此g(x)max＝g()＝4，所以a≥4.當(dāng)x∈[－1,0)時(shí)，f(x)≥0可以化為a≤－，此時(shí)g′(x)＝＞0，g(x)min＝g(－1)＝4，所以a≤4.綜上可知，a＝4.總結(jié)提高：(1)確定函數(shù)f(x)的定義域D；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)根據(jù)f′(x)＞0，且x∈D，求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；根據(jù)f′(x)＜0，且x∈D，求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.：(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)判斷f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，確定f(x)在這個(gè)根處取極大值還是取極小值.：先求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；再將f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)典例精析題型一 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【例1】已知函數(shù)f(x)＝x2＋ln x.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的值域；(2)求證：x＞1時(shí)，f(x)＜x3.【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′(x)＞0，因此f(x)在 [1，e]上為增函數(shù).故f(x)max＝f(e)＝＋1，f(x)min＝f(1)＝，因而f(x)在區(qū)間[1，e]上的值域?yàn)閇，＋1].(2)證明：令F(x)＝f(x)－x3＝－x3＋x2＋ln x，則F′(x)＝x＋－2x2＝，因?yàn)閤＞1，所以F′(x)＜0，故F(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù).又F(1)＝－＜0，故x＞1時(shí)，F(xiàn)(x)＜0恒成立，即f(x)＜x3.【點(diǎn)撥】有關(guān)“超越性不等式”的證明，構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性是常用的證明方法.【變式訓(xùn)練1】已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0時(shí)，f′(x)＞0，g′(x)＞0，則x＜0時(shí)( )′(x)＞0，g′(x)＞0 ′(x)＞0，g′(x)＜0′(x)＜0，g′(x)＞0 ′(x)＜0，g′(x)＜0【解析】選B.題型二 優(yōu)化問(wèn)題【例2】 (2009湖南)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個(gè)橋墩相距m米，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋)，所有橋墩都視為點(diǎn)，.(1)試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m＝640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最?。俊窘馕觥?1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n＋1)x＝m，即n＝－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256(－1)＋(2＋)x＝＋m＋2m－256.(2)由(1)知f′(x)＝－＋mx＝(x－512).令f′(x)＝0，得x＝＝64.當(dāng)0＜x＜64時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64＜x＜640時(shí)
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