【文章內(nèi)容簡介】 曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程2x2+2x0x+2－x02=0的判別式 Δ=4x02－24（2－x02）==177。273，y0=.332723，）或（－333∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，7）.3第7頁（共7頁）第三篇：高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理配套講義15 函數(shù)與方程、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用微專題15　函數(shù)與方程、函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用命題者說考題統(tǒng)計(jì)考情點(diǎn)擊2018全國卷ⅠT9函數(shù)的零點(diǎn)2018全國卷ⅢT15函數(shù)的零點(diǎn)2018浙江高考T11方程組的實(shí)際應(yīng)用2017全國卷ⅢT11函數(shù)的零點(diǎn)從近5年高考情況來看，本部分內(nèi)容一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根的個(gè)數(shù)的判定及利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否存在和零點(diǎn)存在區(qū)間的考查較為頻繁，一般會(huì)將本部分內(nèi)容知識(shí)與函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合起來考查，綜合性較強(qiáng)，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，解題時(shí)要充分利用函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想?？枷蛞慌袛嗪瘮?shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或所在區(qū)間【例1】(1)函數(shù)f(x)＝log2x－的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A．B．C．(1,2)D．(2,3)(2)函數(shù)f(x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________。解析(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)。f＝log2－＝－1－2＝－3(1)＝log21－＝0－1(2)＝log22－＝1－＝0，f(3)＝log23－1－＝0，即f(1)f(2)(x)＝log2x－的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)。故選C。(2)f(x)＝4cos2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin2x＝|ln(x＋1)|。在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)y＝sin2x與函數(shù)y＝|ln(x＋1)|的大致圖象如圖所示。令ln(x＋1)＝1，則x＝e－1。觀察圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)。答案(1)C(2)2(1)函數(shù)零點(diǎn)(即方程的根)的確定問題，常見的類型有：①函數(shù)零點(diǎn)值大致存在區(qū)間的確定。②零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定。③兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)的確定。(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的主要方法：①解方程f(x)＝0，直接求零點(diǎn)。②利用零點(diǎn)存在定理。③數(shù)形結(jié)合法：對(duì)于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會(huì)通過分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)能畫出的函數(shù)圖象交點(diǎn)問題。變|式|訓(xùn)|練1．(2018南寧摸底)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－2x＋6，則f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．3B．2C．1D．0解析　令f(x)＝0，則lnx＝2x－6，令g(x)＝lnx，h(x)＝2x－6(x0)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就等于函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，容易看出函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，故選B。答案　B2．已知函數(shù)f(x)滿足：①定義域?yàn)镽；②?x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝－|x|＋1，則方程f(x)＝log2|x|在區(qū)間[－3,5]內(nèi)解的個(gè)數(shù)是()A．5　　　　B．6C．7　　　　D．8解析　畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，共有5個(gè)解。故選A。答案　A考向二根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的范圍【例2】　已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點(diǎn)，則a＝()A．－　　　B．C．　　　D．1解析　解法一：令f(x)＝0，則x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，設(shè)g(x)＝ex－1＋e－x＋1，則g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，當(dāng)g′(x)＝0時(shí)，x＝1，故當(dāng)x1時(shí)，g′(x)0，函數(shù)g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)g(x)取得最小值2，設(shè)h(x)＝x2－2x，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)h(x)取得最小值－1，若－a解法二：f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－2x＋a(e1－x＋ex－1)＝f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，而f(x)有唯一的零點(diǎn)，則f(x)的零點(diǎn)只能為x＝1，即f(1)＝－1＋2a＝0，解得a＝。故選C。答案　C利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解。(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解。(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解。變|式|訓(xùn)|練已知在區(qū)間(0,2]上的函數(shù)f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx在區(qū)間(0,2]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．∪B．∪C．∪D．∪解析由函數(shù)g(x)＝f(x)－mx在(0,2]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，得y＝f(x)，y＝mx在(0,2]內(nèi)的圖象有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。當(dāng)y＝mx與y＝－3在x∈(0,1]相切時(shí)，mx2＋3x－1＝0，Δ＝9＋4m＝0，m＝－，結(jié)合圖象可得當(dāng)－(x)－mx在(0,2]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)。故選A。答案　A考向三函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例3】(1)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖。根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)(2)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件該產(chǎn)品需另投入的成本為G(x)(單位：萬元)，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，G(x)＝x2＋10x；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，G(x)＝51x＋－1450。通過市場分析，該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完，則該工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤的最大值是________萬元。解析(1)通過題圖可知A不正確，并不是逐月增加，但是每一年是遞增的，從圖觀察C是正確的，D也正確，1～6月比較平穩(wěn)，7～12月波動(dòng)較大。故選A。(2)，1000x＝50x(萬元)。①當(dāng)0450－250＝1200－≤1200－2＝1200－200＝1000，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝100時(shí)，L(x)取得最大值1000萬元。由于950000，所以當(dāng)產(chǎn)量為100千件時(shí)，該工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大，最大年利潤為1000萬元。答案(1)A(2)1000解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)認(rèn)真讀題，縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，明確問題的實(shí)際背景，然后進(jìn)行科學(xué)地抽象概括，將實(shí)際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。(2)要合理選取參變量，設(shè)定變量之后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)模型，最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問題獲解。變|式|訓(xùn)|練1．(2018昆明調(diào)研)下圖是1951～2016年我國年平均氣溫變化圖。根據(jù)上圖，下列結(jié)論正確的是()A．1951年以來，我國年平均氣溫逐年增高B．1951年以來，我國年平均氣溫在2016年再創(chuàng)新高C．2000年以來，我國年平均氣溫都高于1981～2010年的平均值D．2000年以來，我國年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值解析　由1951～2016年我國年平均氣溫變化圖可以看出，年平均氣溫有升高的也有降低的，所以A錯(cuò)誤；2016年的年平均氣溫不是最高的，所以B錯(cuò)誤；2012年的年平均氣溫低于1981～2010年的平均值，所以C錯(cuò)誤；2000年以來，只有2012年的年平均氣溫低于1981～2010年的平均值，所以2000年以來，我國年平均氣溫的平均值高于1981～2010年的平均值，故D正確。故選D。答案　D2．(2018馬鞍山一模)某高校為提升科研能力，計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入。若該高校2017年全年投入科研經(jīng)費(fèi)1300萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增長12%，則該高校全年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超過2000萬元的年份是________。(參考數(shù)據(jù)：≈，≈，lg2≈)()A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年解析　若2018年是第一年，則第n年科研費(fèi)為1300，由13002000，＋lg2，得n，n，n≥4，即4年后，到2021年科研經(jīng)費(fèi)超過2000萬元。故選B。答案　B1．(考向一)(2018昆明調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________。解析　解法一：當(dāng)x1時(shí)，由log2(x－1)＝0得x＝2，即x＝2為函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上的一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x≤1時(shí)，因?yàn)閒(x)＝x3－3x＋1，所以f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0得x＝－1或x＝1，因?yàn)楫?dāng)x′(x)0，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f′(x)≤0，所以x＝－1為函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上的極大值點(diǎn)，因?yàn)閒(－1)＝30，f(1)＝－1(x)→－∞，所以函數(shù)f(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)。綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3。解法二：當(dāng)x1時(shí)，作出函數(shù)y＝log2(x－1)的圖象如圖①所示，當(dāng)x≤1時(shí)，由f(x)＝x3－3x＋1＝0得，x3＝3x－1，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝x3和y＝3x－1的圖象如圖②所示，由圖①，②可知函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3。答案　32．(考向一)(2018洛陽統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)滿足f(1－x)＝f(1＋x)＝f(x－1)(x∈R)，且當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝2x－1，則方程|cosπx|－f(x