高三理數(shù)一輪復習：第三章導數(shù)及其應用-文庫吧資料
2025-04-23 13:02本頁面
【正文】 【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋，當x∈[1，e]時，f′(x)＞0，因此f(x)在 [1，e]上為增函數(shù).故f(x)max＝f(e)＝＋1，f(x)min＝f(1)＝，因而f(x)在區(qū)間[1，e]上的值域為[，＋1].(2)證明：令F(x)＝f(x)－x3＝－x3＋x2＋ln x，則F′(x)＝x＋－2x2＝，因為x＞1，所以F′(x)＜0，故F(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù).又F(1)＝－＜0，故x＞1時，F(xiàn)(x)＜0恒成立，即f(x)＜x3.【點撥】有關“超越性不等式”的證明，構造函數(shù)，應用導數(shù)確定所構造函數(shù)的單調(diào)性是常用的證明方法.【變式訓練1】已知對任意實數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0時，f′(x)＞0，g′(x)＞0，則x＜0時( )′(x)＞0，g′(x)＞0 ′(x)＞0，g′(x)＜0′(x)＜0，g′(x)＞0 ′(x)＜0，g′(x)＜0【解析】選B.題型二 優(yōu)化問題【例2】 (2009湖南)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個橋墩相距m米，一個橋墩的工程費用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2＋)，所有橋墩都視為點，.(1)試寫出y關于x的函數(shù)關系式；(2)當m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最小？【解析】(1)設需新建n個橋墩，則(n＋1)x＝m，即n＝－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256(－1)＋(2＋)x＝＋m＋2m－256.(2)由(1)知f′(x)＝－＋mx＝(x－512).令f′(x)＝0，得x＝＝64.當0＜x＜64時，f′(x)＜0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當64＜x＜640時，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù).所以f(x)在x＝64處取得最小值.此時n＝－1＝－1＝9.故需新建9個橋墩才能使y最小.【變式訓練2】(2010上海)如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側面和下底面(不安裝上底面).當圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值().【解析】設圓柱底面半徑為r，高為h，則由已知可得4(4r＋2h)＝，所以2r＋h＝.S＝－3πr2，h＝－2r＞0，所以r＜.所以S＝－3πr2(0＜r＜).令f(r)＝－3πr2，則f′(r)＝－6πr.令f′(r)＝0得r＝＜r＜，f′(r)＞0；＜r＜，f′(r)＜0.所以r＝，Smax＝.題型三 導數(shù)與函數(shù)零點問題【例3】 設函數(shù)f(x)＝x3－mx2＋(m2－4)x，x∈R.(1)當m＝3時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；(2)已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0，α，β，且α＜∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)當m＝3時，f(x)＝x3－3x2＋5x，f′(x)＝x2－6x＋5.因為f(2)＝，f′(2)＝－3，所以切點坐標為(2，)，切線的斜率為－3，則所求的切線方程為y－＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0.(2)f′(x)＝x2－2mx＋(m2－4).令f′(x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2.當x∈(－∞，m－2)時，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，m－2)上是增函數(shù)；當x∈(m－2，m＋2)時，f′(x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是減函數(shù)；當x∈(m＋2，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)在(m＋2，＋∞)上是增函數(shù).因為函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點0，α，β，且f(x)＝x[x2－3mx＋3(m2－4)]，所以解得m∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4).當m∈(－4，－2)時，m－2＜m＋2＜0，所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0.此時f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，與題意不合，故舍去.當m∈(－2,2)時，m－2＜0＜m＋2，所以α＜m－2＜0＜m＋2
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