淺談08至13年江蘇高考附加題最后一題(編輯修改稿)
2025-05-14 05:23 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 已。（10年23題）已知△ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)。（1） 求證cosA是有理數(shù)；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。同樣先給出官方答案：這道題出自葛軍之手，同樣也有競(jìng)賽的背景，他給的答案中采用的加強(qiáng)命題的技巧。其實(shí)這是一類競(jìng)賽題型，在對(duì)偶原理中經(jīng)常能見到這種題目，要證cos不容易入手，那我就再順手牽羊證sin也滿足如此性質(zhì)?？墒强吹酱祟}競(jìng)賽黨又樂了，不就是第二數(shù)學(xué)歸納法嗎？下面給出別解：（1） 證明：設(shè)三邊長(zhǎng)分別為，∵是有理數(shù)，是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對(duì)于除法的具有封閉性，∴必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù)。（2）①當(dāng)時(shí)，顯然cosA是有理數(shù)；當(dāng)時(shí)，∵，因?yàn)閏osA是有理數(shù)， ∴也是有理數(shù)；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。當(dāng)時(shí)，，解得：∵cosA，均是有理數(shù)，∴是有理數(shù)，∴是有理數(shù)。即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n，cosnA也是有理數(shù)。點(diǎn)評(píng)：此題又是照顧競(jìng)賽黨，表示呵呵。（11年23題）設(shè)整數(shù)，是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，其中 （1）記為滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求；
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