【文章內(nèi)容簡介】 放題。為了便于調(diào)整計(jì)劃，可以先考慮幾種方案，然后比較篩選，也可以分小組活動(dòng)，分工調(diào)查、集體討論后制定一個(gè)統(tǒng)一的計(jì)劃。在學(xué)生報(bào)告結(jié)果時(shí)，教師應(yīng)要求學(xué)生能對(duì)自己和別人的方案進(jìn)行評(píng)價(jià)。例42 面積分割。用一條直線把一個(gè)正方形分為兩部分。如果要使這兩部分的面積相等，這條直線應(yīng)當(dāng)滿足什么條件？[說明] 本活動(dòng)適用于六年級(jí)。希望引發(fā)學(xué)生深入思考，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，經(jīng)歷從直觀分析到推理的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探索的興趣。教師要鼓勵(lì)學(xué)生，能夠說出對(duì)角線和中線的就應(yīng)當(dāng)是正確，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在這四條線中找出共性，即直線應(yīng)當(dāng)過正方形的中心點(diǎn)。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過面積的等量關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證。 圖11對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，教師可以鼓勵(lì)他們思考“過中心的任何一條線段是否都可以把正方形分成面積相等的兩部分”。例43 利用特征分類。收集不同種類樹的葉子，測量葉子的長和寬，計(jì)算葉子的長寬比，并按照比值對(duì)樹進(jìn)行分類。[說明] 我們可以抓住樹的某些特征對(duì)樹進(jìn)行分類，本例是利用樹葉來對(duì)樹進(jìn)行分類。本活動(dòng)適用本學(xué)年段的各個(gè)年級(jí)，要求可以不同。學(xué)生先通過數(shù)據(jù)收集和分析知道一些樹的樹葉的長與寬的比；對(duì)于新采集到的樹葉，通過長與寬的比來判斷這個(gè)樹葉是屬于那種樹。這一學(xué)習(xí)活動(dòng)有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析意識(shí)，體會(huì)有許多事情，通過數(shù)據(jù)分析可以抓住本質(zhì)。知道數(shù)據(jù)不僅僅是別人提供的，還可以自己收集；對(duì)于同一種樹，葉子長與寬的比也可能是不一樣的，進(jìn)一步感受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性；體會(huì)只要有足夠的數(shù)據(jù)，就能夠分析出一些規(guī)律性的結(jié)論。教學(xué)中可以作如下設(shè)計(jì)：（1）建議采用小組活動(dòng)的形式，學(xué)生通過合作交流可以獲得較多的數(shù)據(jù)和信息。（2）分析方法可以由簡單到復(fù)雜。開始可以用平均數(shù)來分類，比如，對(duì)于同種樹，測量、計(jì)算了10個(gè)樹葉，取10個(gè)比值的平均數(shù)。但是學(xué)生很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)，即使是同一棵樹，葉子長與寬的比值恰好等于平均數(shù)的可能性也很小?？梢詥l(fā)學(xué)生考慮比值大概等于平均數(shù)，就可以認(rèn)為是同一種樹，即比值可以比平均數(shù)大一點(diǎn)或者小一點(diǎn)，從而得到一個(gè)數(shù)值區(qū)間。這個(gè)問題可以舉一反三。例如，一年四季的溫度，以每天最高或者最低溫度為標(biāo)準(zhǔn)，冬夏有很大差異；商店一天的銷售情況，以一個(gè)小時(shí)的銷售額為標(biāo)準(zhǔn)，中午與晚上有較大差異。（3）組織學(xué)生交流結(jié)果，發(fā)揮學(xué)生的想象力。第三學(xué)段（79年級(jí)）數(shù)與代數(shù)例44 災(zāi)害預(yù)案。一次水災(zāi)中，大約有20萬人的生活受到影響。如果災(zāi)情持續(xù)一個(gè)月，大約需要籌集多少頂帳篷？多少噸糧食？[說明] 解決此問題需要在一定的假設(shè)條件下，進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算，最后給出估計(jì)。例如，假定一頂帳篷可以住10個(gè)人，需要2萬頂；假如要保證一個(gè)家庭住一頂帳篷，每個(gè)家庭4口人，需要5萬頂。，可以估計(jì)出每天需要的糧食數(shù)，10天需要的，一個(gè)月需要的。例45 估計(jì) ？？例46 結(jié)合實(shí)例解釋3a。[說明] 希望學(xué)生理解用字母表示的代數(shù)式是有一般意義的。a可以表示數(shù)量，例如葡萄的價(jià)格是每千克3元，則3a 表示買a千克的金額；a可以表示長度，例如一個(gè)等邊三角形邊長為a，則3a表示這個(gè)三角形的周長，等等。例47 ，描述河流中行船實(shí)際行走的速度。[說明] 解決這個(gè)問題需要借助符號(hào)表述結(jié)果，可以使學(xué)生理解運(yùn)用符號(hào)的表示具有一般性，有利于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)方程，形成模型思想。因?yàn)榻鉀Q問題時(shí)需要分順?biāo)写湍嫠写瑑煞N情況，所以可以培養(yǎng)學(xué)生在解決實(shí)際問題中，盡量把問題考慮全面。有兩種方法供參考：先從具體數(shù)據(jù)出發(fā)尋找規(guī)律，然后給出一般表述；先給出一般表述，然后用具體數(shù)據(jù)驗(yàn)證。無論用哪種方法，都要注意下面兩點(diǎn)：從語言表達(dá)過渡到符號(hào)表達(dá)；用具體數(shù)據(jù)計(jì)算來驗(yàn)證表達(dá)結(jié)果。例48 利用公式證明第二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”案例中例27所顯示的運(yùn)算規(guī)律。[說明]在第二學(xué)段的學(xué)習(xí)中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了如下的運(yùn)算規(guī)律：1515=12100+25=225，2525=23100+25=625，3535=34100+25=1225。觀察后，我們猜測：如果用字母a代表一個(gè)正整數(shù)，則有如下規(guī)律： (a10+5)2=a(a+1)100+25。 但這樣的猜測是正確的嗎？需要給出證明： 。 這是一個(gè)由具體數(shù)值計(jì)算到符號(hào)公式表達(dá)的過程，即由特殊到一般的過程。可以讓學(xué)生感悟，有些問題是可以通過一般性的證明來驗(yàn)證自己所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。例49 在一個(gè)房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個(gè)，如果椅子腿和凳子腿數(shù)加起來共有60個(gè)，有幾個(gè)椅子和幾個(gè)凳子？[說明]這個(gè)問題與第二學(xué)段“數(shù)與代數(shù)”案例中的例30是相同的。事實(shí)上，這個(gè)問題可以用三種方法建立模型。在第二學(xué)段討論過的方法是基于四則運(yùn)算，還可以用一元一次方程的方法或二元一次方程組的方法解決。啟發(fā)學(xué)生從不同的角度思考同一個(gè)問題，有利于學(xué)生進(jìn)行比較，加深對(duì)于模型的理解。利用一元一次方程解決此問題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生通過具體列表的方式找出規(guī)律、建立方程，這樣利于學(xué)生理解方程的意義，體會(huì)建模的過程。假設(shè)椅子數(shù)為a，則凳子數(shù)為16a，把例30中的表移過來并用字母代替：椅子數(shù) 凳子數(shù) 腿的總數(shù) a =16 16a =0 4a +3(16a)=64 a =15 16a =1 4a +3(16a)=63 a =14 16a =2 4a +3(16a)=62 這樣，合題意的方程為4a+3(16a)=60，可以通過嘗試的方法，解得a=12，也可以解方程求解。對(duì)于二元一次方程組，則可以直接列方程。假設(shè)椅子數(shù)為a，凳子數(shù)為b，可以得到兩個(gè)方程a+b=16和4a+3b=60，用代入法得到4a+3(16a)=60，求解得到a=12和b=4。從上面的討論可以看到，用四則運(yùn)算方法，思考最困難，但是結(jié)果最直接；用二元一次方程組的方法，思考最簡潔，但是計(jì)算較繁瑣。在教學(xué)過程中，可以結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容使用這個(gè)例子，最后進(jìn)行比較，啟發(fā)學(xué)生思考。例50 估計(jì)方程 的解。[說明] 估計(jì)方程的解，不僅僅在于求解，也有利于學(xué)生直觀地探究方程的性質(zhì)，初步感悟，求數(shù)值解也是求方程解的有效途徑。一般來說，如果把一個(gè)數(shù)代入方程左邊得到的值為負(fù)，把另一個(gè)數(shù)代入得到的值為正，則在這兩個(gè)數(shù)之間可能有方程的解。根據(jù)這個(gè)原理，用二分法可以估計(jì)方程的解。分析這個(gè)一元二次方程，當(dāng)x的絕對(duì)值較大時(shí)，方程的左邊必然為正，如5和3；當(dāng)x的絕對(duì)值較小時(shí)，方程的左邊必然為負(fù)，如2。那么，在5和2之間，以及在2和3之間方程可能有解。進(jìn)一步，用同樣的道理可以將解的范圍縮小，使我們估計(jì)的解盡可能精確，如果得到的值為正，,?？梢越柚?jì)算器來完成上述的計(jì)算過程。例51 求方程 的解。[說明] 把求出的解與例50進(jìn)行比較。例52 小麗去文具店買鉛筆和橡皮。小麗帶了2元錢，能買幾支鉛筆、幾塊橡皮？[說明] 對(duì)于初中的學(xué)生，這個(gè)問題是生活常識(shí)，但希望學(xué)生能通過這個(gè)例子學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式看待生活中的問題。這是一個(gè)求整數(shù)解的不等式問題，并且問題是開放的，通過列表具體計(jì)算，有助于學(xué)生直觀理解不等式。假設(shè)買a支鉛筆，b塊橡皮，可以得到不等式 + ≦ 2。當(dāng)a = 1時(shí)，計(jì)算得到b ≦ = ，則 b = 3。這樣計(jì)算，可以建立下面的表格： a01234b53210金額20根據(jù)上面的表格，小麗可以選擇適當(dāng)?shù)馁徺I方案。例53 小明的父母出去散步，從家走了20分到一個(gè)離家900米的報(bào)亭，母親隨即按原速返回。父親在報(bào)亭看了10分報(bào)紙后，用15分返回家。下面的圖形中哪一個(gè)表示父親離家后的時(shí)間與距離之間的關(guān)系？哪一個(gè)圖形是表示母親的？ 圖12例54 某書定價(jià)8元。如果一次購買10本以上，超過10本部分打8折。分析并表示購書數(shù)量與付款金額之間的函數(shù)關(guān)系。[說明] 這是一個(gè)分段函數(shù)，函數(shù)的三種表示法均適用于這個(gè)例子。一般來說，列表法適用于變量取值是離散的情況；分段函數(shù)應(yīng)當(dāng)畫圖，并且關(guān)注分段點(diǎn)處函數(shù)的變化情況?？梢苑纸M討論三種方法，然后讓學(xué)生分析比較。例55 甲乙兩地相距20千米。小明上午8點(diǎn)30分騎自行車由甲地去乙地，車速平均每小時(shí)8千米；小麗上午10點(diǎn)坐公共汽車也由甲地去乙地，車速平均每小時(shí)40千米。分別表示兩個(gè)人時(shí)間與距離的函數(shù)關(guān)系，并回答誰先到達(dá)乙地。[說明] 問題的要點(diǎn)是同時(shí)分析兩個(gè)函數(shù)關(guān)系?？梢詥l(fā)學(xué)生用各種方法來解答第二個(gè)問題，在分析、總結(jié)學(xué)生的解答時(shí)，可以把兩個(gè)函數(shù)的圖象放在一起進(jìn)行直觀比較。例56 溫度的計(jì)量。世界上大部分國家都使用攝氏（C），但美、英等國的天氣預(yù)報(bào)仍然使用華氏（F）。兩種計(jì)量之間有如下對(duì)應(yīng)C01020304050F32506886104122（1）在平面直角坐標(biāo)系中描述相應(yīng)的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)是否在一條直線上。（2）如果兩種計(jì)量之間的關(guān)系是一次函數(shù)，請給出該一次函數(shù)表達(dá)式。（3）0℉相當(dāng)于多少攝氏度。（4）華氏溫度的值與對(duì)應(yīng)的攝氏溫度的值有相同的可能嗎？[說明] 在表中，兩個(gè)變量對(duì)應(yīng)數(shù)值的差之比是一個(gè)常數(shù)，所以兩個(gè)變量之間是一次函數(shù)關(guān)系。攝氏從0度開始，設(shè)為橫坐標(biāo)方便。但在求華氏0度對(duì)應(yīng)的攝氏溫度時(shí)，需要通過函數(shù)值來反求自變量的值。在平面直角坐標(biāo)系中, 該一次函數(shù)的圖像與直線 y = x的交點(diǎn)處的值就是華氏溫度的值與攝氏溫度的值相等時(shí)的值。圖形與幾何例57 從一個(gè)側(cè)面為正方形的長方體實(shí)物中抽象出長方體、長方形、正方形、線段和頂點(diǎn)。[說明] 學(xué)生在日常生活中見到的物體都是立體的，而在紙上畫出的圖形都是平面的，這是一類很重要的抽象。特別是把物體表面分解，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。例58 探索并掌握“對(duì)頂角相等”。[說明] 希望讓學(xué)生知道，研究圖形的性質(zhì)可以用不同的方法。 圖13方法一：如圖13，如果∠AOB=50176。，可以算得∠A′OB=130176。，∠A′OB′=50176。，∠B′OA=130176。；若改變∠AOB的度數(shù)，同樣可以算∠A′OB，∠A′OB′，∠B′OA′的度數(shù)，從中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)∠AOB與∠A′O B′，以及∠A′OB與∠B′OA的大小相等可能具有一般規(guī)律。這是用不完全歸納（合情推理）的方法，猜想“對(duì)頂角相等”。方法二：用硬紙片制作一個(gè)角，把這個(gè)角放在白紙上，描出∠AOB；再把∠AOB繞著點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)180176。到∠A′OB′的位置，即OA與OA′在同一條直線上，OB與OB′在同一條直線上（如圖13），因此∠AOB與∠A′O B′是對(duì)頂角，且它們的大小相等。這是用圖形運(yùn)動(dòng)的方法證明“對(duì)頂角相等”。方法三：利用“同角的補(bǔ)角相等” ，用演繹推理的方法證明“對(duì)頂角相等”。在具體的教學(xué)過程中采取哪種方法，或者幾種方法同時(shí)介紹，可根據(jù)實(shí)際情況酌情處理。例59 證明：兩直線平行，則同位角相等。 圖14[說明] 考慮到學(xué)生的實(shí)際情況，在教學(xué)過程中，給出下面證明方法的時(shí)間可以酌情處理。這個(gè)證明可以利用反證法完成，一方面使學(xué)生了解結(jié)論的證明，另一方面可以幫助學(xué)生了解反證法。如圖14所示，我們希望證明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2。假設(shè)∠1≠∠2，過點(diǎn)O作直線A′B′，使∠EOB′＝∠2。根據(jù)“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行”這個(gè)基本事實(shí)，可得A′B′∥CD。這樣，過點(diǎn)O就有兩條直線AB、A′B′平行于CD，這與基本事實(shí)“過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與這條直線平行”矛盾，說明∠1≠∠2的假設(shè)是不對(duì)的，于是有∠1＝∠2。例60 直觀闡述基本事實(shí)：兩組對(duì)應(yīng)邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。[說明] 雖然基本事實(shí)是不需要證明的，但是啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行直觀分析、探索結(jié)論的合理性。 圖151 圖152如圖151所示，一個(gè)三角形由六個(gè)元素構(gòu)成，即三條邊和三個(gè)角，因此，兩個(gè)三角形如果三條邊和三個(gè)角分別相等，則這兩個(gè)三角形全等。問題是，最少幾個(gè)元素就可以確定三角形從而構(gòu)成全等條件呢？觀察圖151中的△ABC，如果對(duì)圖中的邊BC“視而不見”，這樣，對(duì)∠B和∠C也就“視而不見”了（如圖152），此時(shí)△ABC的形狀和大小并不改變。這就是說，AB、AC兩條邊及它們的夾角確定了△ABC的形狀和大小，于是可以推斷，兩邊以及這兩邊的夾角可以確定一個(gè)三角形。因此，可以認(rèn)同“兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等”這個(gè)基本事實(shí)。另外，也可以用圖形運(yùn)動(dòng)（疊合）的方法確認(rèn)“兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等”這個(gè)結(jié)論。對(duì)于基本事實(shí)：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，直觀分析可以借助下面的圖16圖162。 圖161 圖162可以引導(dǎo)學(xué)生思考，為什么“三個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形全等”不能成為基本事實(shí)。對(duì)于以上事實(shí)的認(rèn)可，也可以從六個(gè)元素中的一個(gè)出發(fā)，既由少到多進(jìn)行考慮，通過畫圖探索出需要幾個(gè)元素即可確定一個(gè)三角形。例61 根據(jù)性質(zhì)對(duì)