【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 12 分）等比數(shù)列{ na}的前 n 項(xiàng)和為 nS， 已知對(duì)任意的 nN?? ，點(diǎn) (,)nS，均在函數(shù) (0xybr???且1,br?均為常數(shù))的圖像上.（1）求 r 的值； （11）當(dāng) b=2 時(shí)，記 2(log1)(nnba?? . 證明：對(duì)任意的 N?? ，不等式 211nb?成立解:因?yàn)閷?duì)任意的 n,點(diǎn) ()nS，均在函數(shù) (0xyr??且 1,br???,當(dāng) 1時(shí), 1abr??,當(dāng) 2?時(shí),11()()nnnnnarb????,又因?yàn)閧 na}為等比數(shù)列,所以 1r??,公比為 b,1()（2）當(dāng) b=2 時(shí)， 1()2nnab??, 122(log1)(log)nnn?????則 1nb?,所以 1235746nb???? . 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 12121nn????? 成立.① 當(dāng) 1n?時(shí),左邊= 32,右邊 = ,因?yàn)?3?,所以不等式成立.② 假設(shè)當(dāng) k時(shí)不等式成立,即 1213572146kbbk??????? ??時(shí),左邊= 112 3kk k?????2223()4()()1()()14()k???????所以當(dāng) 1n??時(shí),不等式也成立 . . 由①、②可得不等式恒成立.【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義 ,通項(xiàng)公式,以及已知 nS求 a的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.9.(2022 山東卷文)（本小題滿分 12 分）等比數(shù)列{ na}的前 n 項(xiàng)和為 nS， 已知對(duì)任意的16nN?? ，點(diǎn) (,)nS，均在函數(shù) (0xybr???且 1,br?均為常數(shù))的圖像上. （1）求 r 的值； （11）當(dāng) b=2 時(shí)，記 1()4nbNa?? 求數(shù)列 {}n的前 項(xiàng)和 nT解:因?yàn)閷?duì)任意的 ?,點(diǎn) nS，均在函數(shù) (0xybr??且 1,br?均為常數(shù))?,當(dāng) 1時(shí), 1aSbr, 當(dāng) 2n?時(shí), 111()()nnnnnbrb???????,又因?yàn)閧 }為等比數(shù)列, 所以 r, 公比為 , 所以 nab?（2）當(dāng) b=2 時(shí)， 1()2nnab?, 142nnb????則 2341n nT???? 521n?? 相減,得 23451n ?? 12()1n????1234n??所以 11332nnnT????【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義 ,通項(xiàng)公式,以及已知 nS求 a的基本題型,并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前 項(xiàng)和 T.10.（2022 全國(guó)卷Ⅱ文） （本小題滿分 10 分）. 已知等差數(shù)列{ na}中， ,0,166473????a求{ n}前 n 項(xiàng)和 s. . 解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運(yùn)用能力，利用方程的思想可求解。解：設(shè) ??na的公差為 d，則. ??1126350d???????17即2218164ad??????解得 11,82ad???或因此 ??????9819n nSnSn?????????， 或11.（ 2022 廣 東 卷 理 ） （本小題滿分 14 分）. 已知曲線 22:0(1,)nCxy? ．從點(diǎn) (,0)P向曲線 nC引斜率為 (0)nk?的切線 nl，切點(diǎn)為 (,)Py．（1）求數(shù)列 {}nx與 的通項(xiàng)公式；（2）證明： 135212sinnnxxy?????? .解 ： （ 1） 設(shè) 直 線 nl： )(?kyn，聯(lián)立 02???得 0)2()1( 22???nnnkxkx，則 014)2(2???nnk，∴ nk（ 舍去）. 222)(1?kxnn， 即 1??xn， ∴ 12)(??nxynn（ 2） 證 明 ： ∵ 21??nxn . 12534321531 ????????????? nxn∴ nnx?????12531由于 nnyx?，可令函數(shù) xxfsin2)(??，則 xfcos21)(39。??，令 0)(39。?f，得 2cosx，給定區(qū)間 )4,0(?，則有 0)(39。?f，則函數(shù) )(f在 4,0?上單調(diào)遞減，∴180)(??fxf，即 xsin2?在 )4,0(?恒成立，又 43120?????n，則有 1i12??n，即 nnyxsi?. . 12.（2022 安徽卷理） （本小題滿分 13 分）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列 ??na滿足 21(3),.4nnaN???? （I）證明：若 1為奇數(shù)，則對(duì)一切 ?都是奇數(shù)；（II）若對(duì)一切 N??都有 1n?，求 1的取值范圍.解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題滿分 13 分。解：（I）已知 1a是奇數(shù)，假設(shè) 2kam??是奇數(shù)，其中 為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得213(1)4k??是奇數(shù)。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何 nN??， na都是奇數(shù)。（II） （方法一）由 1(1)34a????知， 1na??當(dāng)且僅當(dāng) 1na?或 3n?。另一方面，若 0,k?則 1k??；若 k，則??根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法， 1 1,0,。,.n naNaN?????????綜合所述，對(duì)一切 nN??都有 1a?的充要條件是 0?或 13。（方法二）由2113,4a?得 2143,?于是 1a或 1?。221111 ()(),nnnnn aa?????? 因?yàn)?1130,4na???所以所有的 n均大于 0，因此 1na?與 1na?同號(hào)。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法， N???， 1na?與 21同號(hào)。 因此，對(duì)一切 n都有 ?的充要條件是 0a?或 13?。13.（2022 安徽卷文）（本小題滿分 12 分）19已知數(shù)列{ } 的前 n 項(xiàng)和 ，數(shù)列{ }的前 n 項(xiàng)和（Ⅰ）求數(shù)列{ }與{ }的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè) ，證明：當(dāng)且僅當(dāng) n≥3 時(shí)， ＜ . 【思路】由 1 (1) 2nas???????可求出 nab和，這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一，在求出 nab和后，進(jìn)而得到 c，接下來(lái)用作差法來(lái)比較大小，這也是一常用方法?！窘馕觥?1)由于 14as?當(dāng) 2n?時(shí), 22()[(1)()]4nnnn??????*()maN??又當(dāng) x時(shí) 16mbTb1nb?數(shù)列 ??n項(xiàng)與等比數(shù)列,其首項(xiàng)為 1,公比為 2()? . (2)由(1)知 22116()nnCab???? 2(1)26)nC???????由21()n??得即 202?即 3n?又 3?時(shí) 2()1成立,即 1nC??由于 n恒成立. . 因此,當(dāng)且僅當(dāng) n時(shí), 1n?14.（2022 江西卷文） （本小題滿分 12 分）數(shù)列 {}na的通項(xiàng) 22(cosi)3nn???，其前 n 項(xiàng)和為 nS. (1) 求 S。 (2) 3,4nb?求數(shù)列｛ nb｝的前 n 項(xiàng)和 T.解: (1) 由于 22cosicos3????,故312345632132 22()()()(()k kkSaaaak?????? ???8(9)2k???,20313(49),2kkkSa???23213(31)321,6kk k? ???故 ,6(1)3,14,6nnkSnk????????? ( *kN?)(2) 39,2nnb????14[],4nT? 13n??兩式相減得 1 2319199449[][3]8,1242nnnn nT? ??????????故 ???15.（2022 江西卷理） （本小題滿分 14 分）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 {}na， 12,b?，且對(duì)滿足 mnpq??的正整數(shù) ,mnpq都有.(1)()pqmna??（1）當(dāng) 4,25b?時(shí)，求通項(xiàng) 。na . （2）證明：對(duì)任意 a，存在與 有關(guān)的常數(shù) ?，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù) n，都有 ??解：（1）由 ()1()1pqmna???得121.()()nna??將 24,5?代入化簡(jiǎn)得. ??21所以 11,3nna????? . 故數(shù)列 {}n為等比數(shù)列，從而1,3na???即 1.n??可驗(yàn)證， 1n滿足題設(shè)條件.(2) 由題設(shè) ()mna?的值僅與 n?有關(guān),記為 ,mnb?則 11 .()()1nnaa???? . 考察函數(shù) (0)(1)xfxa??,則在定義域上有. ,(),12,01fxgaa??????????故對(duì) *nN?， ()nbga??恒成立. . 又 22(1)nn?,注意到 0ga??,解上式得 1()2()1()2()() ,12ngaga???????取 ()()ga??,即有 .n?. . 16.（2022 天津卷文） （本小題滿分 12 分）已知等差數(shù)列 }{n的公差 d 不為 0，設(shè) 121???nnqaaS?*121 ,)(NqaqaTnn ???????（Ⅰ）若 5,31? ,求數(shù)列 }{n的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若 2Sd且 成等比數(shù)列，求 q 的值。22（Ⅲ）若 *222 ,1)()1(1, NnqdTqSqqnn ???????）證 明 （【答案】 （1） 34?an（2） （3）略【解析】 （1）解：由題設(shè)， 15,)2()( 3111 ???? SadaaS將代入解得 d，所以 ?n*N? （2）解：當(dāng) 3212321 ,3, qdqa ?? 成等比數(shù)列，所以31S，即 )2q??（）（ ，注意到 0?d，整理得 ??q（3）證明：由題設(shè)，可得 1??nb，則223212?nn aa? ①12???qqT? ②①②得， )(212342 ???nnaaS?①+②得， )( 212312 ??nn qqT? ③③式兩邊同乘以 q，得 )(( 21232 ????nn qaaTS?所以 212322 ())1)( dqdqSnnn ????（3）證明： nlklklk bababac n)(((2121 121 ???= 11 )))( ???nqdqdldblk?因?yàn)?0,1?，所以 12112 )()()( ????nqlkqlkldbc?若 nlk?，取 i=n，若 ?，取 i 滿足 ilk?，且 jjl?， nji??1由（1） （2）及題設(shè)知， n??1，且 121 )()()( ????nqlkqlldbc? . 23① 當(dāng) ilk?時(shí)， 1??il，由 nq?， 1,2,1????iiqlki ?即 1??q， ?),()(2k 21)()(?iiii所以 111212 ???? iiii qqqqdbc?因此 02??② 當(dāng) ilk?時(shí)，同理可得 ,121??dbc因此 02?c . 綜上， 21c?【考點(diǎn)定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力和綜合分析解決問(wèn)題的能力。17.(2022 湖北卷理)（本小題滿分 13 分） （注意：在試題卷上作答無(wú)效）已知數(shù)列 ??na的前 n 項(xiàng)和 1()2nnSa???（n 為正整數(shù)） 。（Ⅰ）令 2b?，求證數(shù)列 ??b是等差數(shù)列，并求數(shù)列 ??na的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令 1nnc?， T與 521?的大小，并予以證