【正文】 1)()pqmna??（1）當(dāng) 4,25b?時(shí)，求通項(xiàng) 。13.（2022 安徽卷文）（本小題滿分 12 分）19已知數(shù)列{ } 的前 n 項(xiàng)和 ，數(shù)列{ }的前 n 項(xiàng)和（Ⅰ）求數(shù)列{ }與{ }的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè) ，證明：當(dāng)且僅當(dāng) n≥3 時(shí)， ＜ . 【思路】由 1 (1) 2nas???????可求出 nab和，這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一，在求出 nab和后，進(jìn)而得到 c，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法， N???， 1na?與 21同號(hào)。（方法二）由2113,4a?得 2143,?于是 1a或 1?。另一方面，若 0,k?則 1k??；若 k，則??根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法， 1 1,0,。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何 nN??， na都是奇數(shù)。本小題滿分 13 分。?f，得 2cosx，給定區(qū)間 )4,0(?，則有 0)(39。解：設(shè) ??na的公差為 d，則. ??1126350d???????17即2218164ad??????解得 11,82ad???或因此 ??????9819n nSnSn?????????， 或11.（ 2022 廣 東 卷 理 ） （本小題滿分 14 分）. 已知曲線 22:0(1,)nCxy? ．從點(diǎn) (,0)P向曲線 nC引斜率為 (0)nk?的切線 nl，切點(diǎn)為 (,)Py．（1）求數(shù)列 {}nx與 的通項(xiàng)公式；（2）證明： 135212sinnnxxy?????? .解 ： （ 1） 設(shè) 直 線 nl： )(?kyn，聯(lián)立 02???得 0)2()1( 22???nnnkxkx，則 014)2(2???nnk，∴ nk（ 舍去）. 222)(1?kxnn， 即 1??xn， ∴ 12)(??nxynn（ 2） 證 明 ： ∵ 21??nxn . 12534321531 ????????????? nxn∴ nnx?????12531由于 nnyx?，可令函數(shù) xxfsin2)(??，則 xfcos21)(39。滿分 10 分。. 7.（2022 江蘇卷） （本題滿分 10 分）對(duì)于正整數(shù) n≥2，用 nT表示關(guān)于 x的一元二次方程 20xab??有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組 (,)ab的組數(shù)，其中 ??,1,ab?? （ a和 b可以相等） ；對(duì)于隨機(jī)選取的 ??,12,n?? （ 和 可以相等） ，記nP為關(guān)于 x的一元二次方程 20??有實(shí)數(shù)根的概率。滿分 14 分。（1）求數(shù)列 n的通項(xiàng)公式及前 項(xiàng)和 ； （2）試求所有的正整數(shù) m，使得 12ma?為數(shù)列 ??n中的項(xiàng)。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。由上知 ()f中有三個(gè)數(shù)， ()f中 有 6 個(gè)數(shù)， ()f中共有 10 個(gè)數(shù)相加 ，()f中有 15 個(gè)數(shù)相加….，若 n?中有 1na??個(gè)數(shù)相加，可得 n中有 1)na??個(gè)數(shù)相加，且由 3633045(1),(2)(),()(2),()(3),.3fffffff??????可得 1,nn?所以 1())(2). (1)33nnf f f?= 11()36????19.（2022 重慶卷理）設(shè) 12a， 1na?， 21nab??， *N?，則數(shù)列 ??nb的通項(xiàng)公式 nb= ． . 9【答案】: 12n?【解析】由條件得 11221nnnnaabb??????且 14?所以數(shù)列 ??nb是首項(xiàng)為 4，公比為 2 的等比數(shù)列，則 142n??三、解答題1.(2022 年廣東卷文)（本小題滿分 14 分）已知點(diǎn)（1， 3）是函數(shù) ,0()??axf且 1?）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列 }{na的前 項(xiàng)和為 f?)(,數(shù)列 }{nb)0(?的首項(xiàng)為 c，且前 n項(xiàng)和 nS滿足 － 1?n= S+ 1?n（ 2?）.（1）求數(shù)列 na和 }{b的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{ 1?n前 項(xiàng)和為 nT，問 209的最小正整數(shù) n是多少? . 【解析】 （1） ??3fa?Q, ??13xf???????? 11afc? , ??2fcfc?????????29??, ????3 7f???? .又?jǐn)?shù)列 ??na成等比數(shù)列，2134183ac??? ，所以 1?；又公比 213qa?，所以12nnn????????????? *N? ；??111nnnnSSSS???????Q ??2?又 0b?, , ?；數(shù)列 ??n構(gòu)成一個(gè)首相為 1 公差為 1 的等差數(shù)列， ??nn?? ， 2S當(dāng) 2?， ??22nSn???? ；1nb( *N?)；（2） 12341n nTbb??L ??111357(2)n??????K10 1111235272n???????????????????????????????K 1221n??????????； 由 09nT?得 0n，滿足 09nT?的最小正整數(shù)為 112.2.（2022 全國(guó)卷Ⅰ理） （本小題滿分 12 分） （注意：在試題卷上作答無效）在數(shù)列 {}na中， 111,()2nna??? （I）設(shè) b，求數(shù)列 {}b的通項(xiàng)公式 （II）求數(shù)列 n的前 項(xiàng)和 nS分析：（I）由已知有 12a??12nb???? 利用累差迭加即可求出數(shù)列 {}n的通項(xiàng)公式: 1n?( *N?)（II）由（I）知 1na?,?nS= 11(2)kk???1(2)nk???而 1())k??,又 1nk??是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型，易得 11242nkn??? ?nS= ()?124n?評(píng)析：09 年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)(一) 試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯(cuò)位相減法求前 n 項(xiàng)和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。答案 1015.（2022 陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列 ??n的前 n 項(xiàng)和為 ns,若 632,則 n . . 答案:2n解析:由 6312as?可得 na的公差 d=2,首項(xiàng) 1a=2,故易得 n?2n.16.(2022 陜西卷理)設(shè)等差數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 nS,若 6312,則 2limnS??? .答案：1 611 223252 1()lilinnnadas ????????????????解 析 ：17.（2022 寧夏海南卷文）等比數(shù)列{ n}的公比 0q?, 已知 2a=1， 216nna??，則{ na}的前 4 項(xiàng)和 4S= . 【答案】 152【解析】由 16nnaa??得： 116???nq，即 062??q， ?，解得：q＝2，又82a=1，所以， 12a?， 21)(44?S＝ 5。7（2）若 1am?為奇數(shù)，則 213am??為偶數(shù)，故 312ma??必為偶數(shù)63??，所以 6=1 可得 m=512.（2022 全國(guó)卷Ⅱ理）設(shè)等差數(shù)列 ??na的前 項(xiàng)和為 nS，若 53a則 95S 9 . 解： ??na?為等差數(shù)列， 953S??13.（2022 遼寧卷理）等差數(shù)列 ??na的前 項(xiàng)和為 nS，且 536,S??則 4a 【解析】∵S n＝na 1＋ 2n(n－ 1)d . ∴S 5＝5a 1＋10d,S 3＝3a 1＋3d ∴6S 5－5S 3＝30a 1＋60d－(15a 1＋15d) ＝15a 1＋45d＝15(a 1＋3d)＝15a 4【答案】 3114.（2022 寧夏海南卷理）等差數(shù)列{ na}前 n 項(xiàng)和為 nS。若 6a＝ 1，則 m 所有可能的取值為__________ 。若 3614,sa?，則 4a= 答案：3解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算，由 361,s?得 q3=3 故 a4=a1q3=3。等比數(shù)列的通項(xiàng)。14.（2022 重慶卷文）設(shè) ??na是公差不為 0 的等差數(shù)列， 1a?且 136,a成等比數(shù)列，則 ??na的前 項(xiàng)和 nS=（ ） A．274? B．253? C．234n?D． 2n?【答案】A解析設(shè)數(shù)列 {}na的公差為 d，則根據(jù)題意得 (2)(5)dd??，解得 12?或 0d（舍去） ，所以數(shù)列 n的前 項(xiàng)和 174nnS?????15.（2022 安徽卷理）已知 ??a為等差數(shù)列， 1a+ 3+ 5=105， 246a=99，以 nS表示 ??na的前 項(xiàng)和，則使得 nS達(dá)到最大值的 是 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 [解析]：由 1a+ 3+ 5=105 得 305,?即 3，由 246?=99 得 439?即 43 ，∴2d??， 4()241n n????，由 10na??????得 ?，選 B16.（2022 江西卷理）數(shù)列 {}na的通項(xiàng) 22(cosi)3n???，其前 n項(xiàng)和為 nS，則 30為A． 470 B． 490 C． 495 D． 510答案：A【解析】由于 22{cosin}3??以 3 為周期,故2 222 23014589()(6)(30)S???????221 103151[()][]547k kk? ???????故選 A17.（2022 四川卷文）等差數(shù)列｛ na｝的公差不為零，首項(xiàng) 1a＝1， 2是 1和 5a的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前 10 項(xiàng)之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 【答案】B5【解析】設(shè)公差為 d，則 )41()(2d???.∵ ≠0 ，解得 d＝2，∴ 10S＝100二、填空題1.（2022 全國(guó)卷Ⅰ理） 設(shè)等差數(shù)列 ??na的前 項(xiàng)和為 nS，若 97?,則 249a?= 。類似地，稱圖2 中的 1，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)?！敬鸢浮緽5.（2022 江西卷文）公差不為零的等差數(shù)列 {}na的前 項(xiàng)和為 4a是 37與 的等比中項(xiàng), 832S?,則10S等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 2答案：C【解析】由 2437a?得 2111()()6dad???得 1230a?,再由 815632Sad??得 178d?則 ,?,所以 09S,.故選 C6.（2022 湖南卷文）設(shè) n是等差數(shù)列 ??n的前 n 項(xiàng)和，已知 2， 6，則 7等于【 C 】A．13 B．35 C．49 D． 63 解: 17267()()7(31)????故選 C.或由 21165d???????, 76213.??所以 177()(3)???故選 C.7.（2022 遼寧卷文）已知 ??n為等差數(shù)列，且 7a－2 4＝－1, 3a＝0,則公差 d＝（A）－2 （B）－ （C） 1 （D）2【解析】a 7－2a 4＝a 3＋4d－2(a 3＋d)＝2d＝－1 ? d＝－ 1【答案】B8.（2022 遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列{ na}的前 n 項(xiàng)和為 nS ，若 63=3 ，則 69S = （A） 2 （B） 73 （C） 83 （D）3【解析】