【正文】 另一方面，當 ?時，對一切的正整數(shù) n 都有 nR?事實上，對任意的正整數(shù) k，有2121258(4)()1nkkb????38 5208(16)()4kk???? 8()kk???當 n 為偶數(shù)時，設 *2()nmN??則 123421()()mRbbb????K 8 當 n 為奇數(shù)時，設 *()nN則 12342321()())mmRbbb??????K . 88m???對一切的正整數(shù) n，都有 nR?綜上所述，正實數(shù) ?的最小值為 4………………………….14 分29.（2022 福建卷文）(本小題滿分 )2 分）等比數(shù)列 {}na中，已知 142,6a? （I）求數(shù)列 的通項公式； （Ⅱ）若 35,分別為等差數(shù)列 {}nb的第 3 項和第 5 項，試求數(shù)列 {}nb的通項公式及前 n項和 nS。本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎知識、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。（I）求數(shù)列 nb的通項公式；（II）記 *21()cN???，設數(shù)列 ??nc的前 項和為 nT，求證：對任意正整數(shù) n都有 32T?；（III）設數(shù)列 ??n的前 項和為 nR。本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式等基礎知識，考查運算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分 14 分。34（III）若數(shù)列 ??na 是 B?數(shù)列，則存在正數(shù) ，對任意的 ,nN??有 a????2nbb?注意到 ??? 1naM????同理： 21nbM 記 2K?，則有 22Kb??1111nnnnnnaaba?????1nb kb????因此 112122(.)nnKM??? + 1bak故數(shù)列 ??na是 B數(shù)列 27.（2022 天津卷理） （本小題滿分 14 分）已知等差數(shù)列{ n}的公差為 d（d ?0） ，等比數(shù)列{ nb}的公比為 q（q1） 。命題 2：若數(shù)列 n是 B數(shù)列，則數(shù)列 nx是 B數(shù)列此命題為真命題事實上，因為數(shù)列 ??nS是 B數(shù)列，所以存在正數(shù) M，對任意的 1,n?有 ???? 即 。（2）命題 1：若數(shù)列 ??nx是 B數(shù)列，則數(shù)列 ??nS是 B數(shù)列 次命題為假命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結論；（3） 若數(shù)列 ,nab都是 ?數(shù)列，證明：數(shù)列 nab也是 B?數(shù)列。即 25690d??24,0,()21nddan?????又 代 入 得 a① （2）令 2121, ,n nnbcccac??????? ?則 有兩式 相減得111 11,(), 2,2()n nnabbab???????????由 得 即 當 時 ， 又 當 =時 ，于是 341132nnnS ?? ?= 23412??? 4=122()6,6nnnS? ?????即26.(2022 湖南卷理)（本小題滿分 13 分）對于數(shù)列 ??nu若存在常數(shù) M＞0,對任意的 nN??，恒有 u???? 則稱數(shù)列 n為 B數(shù)列（1） 首項為 1，公比為 ()q?的等比數(shù)列是否為 B數(shù)列？請說明理由。證明：由（I）知14()5(4)1????n nnb 21212520226408888.(4)()64()?? ?????????? kkkkkkb∴當 n 為偶數(shù)時，設 nmN??? ∴ 123421()()()8mRbbbn?????當 n 為奇數(shù)時，設 ?∴ 12342321()()()()48mmmn????????∴對于一切的正整數(shù) n，都有 nRk? ∴不存在正整數(shù) k，使得 ?成立。 證（1）由 1n+1244n5132382xxx????及 得 ，由 246?猜想：數(shù)列 ??2是遞減數(shù)列30下面用數(shù)學歸納法證明：（1）當 n=1 時，已證命題成立 （2）假設當 n=k 時命題成立，即 22kx??易知 20kx?，那么 23124212323(1)()kkkkkkxx?????????? = 2212230(1))()()kkkk????即 2(1)2()kkx???也就是說，當 n=k+1 時命題也成立，結合（1）和（2）知，命題成立（2）當 n=1 時， 216nxx???，結論成立當 n?時，易知 1110,2nnnnx?????????11115()()(2n nnnxx????????111()nnnnxx???? 2n11122n25556nx????（ ） （ ）（ ） 24.（2022 四川卷文） （本小題滿分 14 分）設數(shù)列 ??na的前 項和為 nS，對任意的正整數(shù) n，都有 51naS??成立，記 *4()1nnabN????。所以 *naN??。（1）證 121,a當 ?時， 1 11,()222nn nnnabab?? ?????所以 ??是以 1 為首項， 為公比的等比數(shù)列。事實上，因為數(shù)列 {}S是 B數(shù)列，所以存在正數(shù) M，對任意的 *nN?，有 1121|||||nnSS?????? , 即 2|||xx? .于是 121nnxxx????112nn?????,28所以數(shù)列 {}nx是 B數(shù)列。命題 2：若數(shù)列 n是 B數(shù)列，則數(shù)列 {}nx不是 B數(shù)列。B 組：③數(shù)列 {}n是 B數(shù)列, ④數(shù)列 S不是 B數(shù)列. 27請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結論組成一個命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結論；(Ⅲ)若數(shù)列 {}na是 B數(shù)列，證明：數(shù)列 2{}na也是 B數(shù)列。20.（2022 湖南卷文） （本小題滿分 13 分）對于數(shù)列 {}nu,若存在常數(shù) M＞0,對任意的 *nN?，恒有 1121nnuuM?????, 則稱數(shù)列 {}n為 B數(shù)列.（Ⅰ）首項為 1，公比為 2的等比數(shù)列是否為 B數(shù)列？請說明理由。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用。 …………………………………8 分（III）由 54()1nnb???得 21221 22516156156()4()34()nnnnnnnnc???????????又12234,bc???， 當 n時， 1T?，當 ?時， 2223 21[()]41465()531663931486nn n ???????????? …………………………………14 分2619.（2022 全國卷Ⅱ理） （本小題滿分 12 分）設數(shù)列 {}na的前 項和為 ,nS 已知 1,a?142nSa?（I）設 12b???，證明數(shù)列 {}b是等比數(shù)列 （II）求數(shù)列 {}n的通項公式。 （I）求數(shù)列 n與數(shù)列 nb的通項公式；（II）設數(shù)列 ??的前 項和為 R，是否存在正整數(shù) k，使得 4nRk?成立？若存在，找出一個正整數(shù) k；若不存在，請說明理由；（III）記 *21()nncbN???，設數(shù)列 ??nc的前 項和為 nT，求證：對任意正整數(shù) n都有 32T?；【解析】 （I）當 時， 115,4????aSa 又 15,??nnaS11,4即?????nnna∴數(shù)列 ??na是首項為 1，公比為 14?q的 等比數(shù)列，25∴ 1()4??nna， *1()4)???nbN …………………………………3 分（II）不存在正整數(shù) k，使得 nRk?成立。???????K 可猜想當 ??時 ， 證明如下：證法 1：（1）當 n=3 時，由上驗算顯示成立。21。（Ⅰ）令 2b?，求證數(shù)列 ??b是等差數(shù)列，并求數(shù)列 ??na的通項公式；（Ⅱ）令 1nnc?， T與 521?的大小，并予以證明。22（Ⅲ）若 *222 ,1)()1(1, NnqdTqSqqnn ???????）證 明 （【答案】 （1） 34?an（2） （3）略【解析】 （1）解：由題設， 15,)2()( 3111 ???? SadaaS將代入解得 d，所以 ?n*N? （2）解：當 3212321 ,3, qdqa ?? 成等比數(shù)列，所以31S，即 )2q??（）（ ，注意到 0?d，整理得 ??q（3）證明：由題設，可得 1??nb，則223212?nn aa? ①12???qqT? ②①②得， )(212342 ???nnaaS?①+②得， )( 212312 ??nn qqT? ③③式兩邊同乘以 q，得 )(( 21232 ????nn qaaTS?所以 212322 ())1)( dqdqSnnn ????（3）證明： nlklklk bababac n)(((2121 121 ???= 11 )))( ???nqdqdldblk?因為 0,1?，所以 12112 )()()( ????nqlkqlkldbc?若 nlk?，取 i=n，若 ?，取 i 滿足 ilk?，且 jjl?， nji??1由（1） （2）及題設知， n??1，且 121 )()()( ????nqlkqlldbc? . 23① 當 ilk?時， 1??il，由 nq?， 1,2,1????iiqlki ?即 1??q， ?),()(2k 21)()(?iiii所以 111212 ???? iiii qqqqdbc?因此 02??② 當 ilk?時，同理可得 ,121??dbc因此 02?c . 綜上， 21c?【考點定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列通項公式與前 n 項和等基本知識，考查運算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力。 (2) 3,4nb?求數(shù)列｛ nb｝的前 n 項和 T.解: (1) 由于 22cosicos3????,故312345632132 22()()()(()k kkSaaaak?????? ???8(9)2k???,20313(49),2kkkSa???23213(31)321,6kk k? ???故 ,6(1)3,14,6nnkSnk????????? ( *kN?)(2) 39,2nnb????14[],4nT? 13n??兩式相減得 1 2319199449[][3]8,1242nnnn nT? ??????????故 ???15.（2022 江西卷理） （本小題滿分 14 分）各項均為正數(shù)的數(shù)列 {}na， 12,b?，且對滿足 mnpq??的正整數(shù) ,mnpq都有.(