(新)整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根定理及求解方法(編輯修改稿)
2025-05-04 04:11 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 若是一個(gè)次數(shù)大于的整系數(shù)多項(xiàng)式,如果是的一個(gè)有理根,其中是互素的整數(shù),那么 若為整系數(shù)多項(xiàng)式的整數(shù)根,則為常數(shù)項(xiàng)的約數(shù),且對(duì)于.證明：因?yàn)閝是整系數(shù)多項(xiàng)式的整數(shù)根,所以,其中是整系數(shù)多項(xiàng)式.,則有.又,故,所以.當(dāng)時(shí), .因?yàn)槭浅?shù)項(xiàng),故為常數(shù)項(xiàng)的約數(shù),所以. 若整系數(shù)多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為奇數(shù),而為偶數(shù),則不是的有理根.證明：（反證法）設(shè)是的有理根,則,其中是整系數(shù)多項(xiàng)式,于是有設(shè),令,則有又因?yàn)槭瞧鏀?shù), ,等號(hào)左邊是奇數(shù),等號(hào)右邊是偶數(shù),.所以不是的有理根. （關(guān)于整根的牛頓法）【2】 如果d是整系數(shù)方程（）的整根,那么能夠整除, ,如果,那么是的根.由以上定理可得下面推論：推論 整系數(shù)多項(xiàng)式,當(dāng)(互素)是有理數(shù)時(shí),若,則是的根. 證明：因?yàn)?在上式兩邊同時(shí)乘以,則有即 . 所以是的根.第三章 整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法 整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的判定[7]存在性的判定通?？梢杂贸?shù)項(xiàng)的所有因數(shù)逐個(gè)地代入多項(xiàng)式去驗(yàn)證,但當(dāng)常數(shù)項(xiàng)較大,因數(shù)較多,多項(xiàng)式的次數(shù)較高時(shí),計(jì)算量之大,沒有計(jì)算機(jī)的幫助是很難實(shí)現(xiàn)的. 如果先判別多項(xiàng)式的不可約,或者將多項(xiàng)式分解成幾個(gè)多項(xiàng)式的積后再作判斷. 這在理論上是可行的,但實(shí)際要將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)卻不是一件容易的事情. 所以,研究整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的存在性問題,明智的選擇還是從系數(shù)開始。整系數(shù)多項(xiàng)式無(wú)有理根的判別法：[1](Eisenstein判別法)：設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。如果有一個(gè)素?cái)?shù)，使得1；2；.那么在有理數(shù)域上是不可約的.證明 如果在有理數(shù)域上可約，可以分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積：= .因此 ，因?yàn)?，，因?yàn)椋寄鼙徽?【3】設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若能找到一個(gè)素?cái)?shù)和整數(shù),使得 (1) (2) ,但；(3) (i)當(dāng)時(shí)。且；(ii)當(dāng)時(shí)，其中為正整數(shù)， (注：當(dāng)時(shí) ，與(i)相同) ，那么 ，多項(xiàng)式無(wú)有理根 。 證明： (i)當(dāng)時(shí)，假設(shè)多項(xiàng)式存在有理根，則在有理數(shù)域上從而。因?yàn)榛ニ?，所以是一個(gè)本原多項(xiàng)式，根據(jù)推論由，依次類推，即得，所以。，比較兩邊系數(shù)，即得 （△） 因?yàn)槭撬財(cái)?shù)，且，由（△）知 ，所以 或 ，同時(shí)，因?yàn)椋? 且 。 如果，那么由 ，及 (
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