(新)整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根定理及求解方法-文庫(kù)吧
2025-03-23 04:11 本頁(yè)面
【正文】 gral coefficients polynomial f(x) has rational root when we want to solve the rational root of integral it exists, we can get all the possible rational roots. However, in order to make the procedure easier, we can apply the related theorem in this article and narrow down the extent. And then we can testify them and get all the rational roots.Keywords: Integral coefficients polynomial method to solve rational roots judgment of rational roots第一章 整系數(shù)多項(xiàng)式的基本內(nèi)容【1】本節(jié)給出了整系數(shù)多項(xiàng)式的基本定理高斯(Gauss)引理。定義1[1]如果一個(gè)多項(xiàng)式，其所有系數(shù)都是整數(shù)，就稱此多項(xiàng)式為整系數(shù)多項(xiàng)式。定義2 如果一個(gè)非零的整系數(shù)多項(xiàng)式 的系數(shù)沒(méi)有異于的公因子，也就是說(shuō)，它們是互素的，它就稱為一個(gè)本原多項(xiàng)式。 下面的重要結(jié)果，稱為高斯引理，是研究整系數(shù)多項(xiàng)式的基礎(chǔ)。（高斯引理）兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積還是本原多項(xiàng)式。證明 設(shè)是兩個(gè)本原多項(xiàng)式，而，也就是說(shuō)，的系數(shù)有一異于的公因子，，即.同樣地，也是本原的，令是第一個(gè)不能被整除的系數(shù)，即我們來(lái)看的系數(shù)，由乘積定義由上面的假設(shè)，整除等式左端的， 如果一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，那么它一定能分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積. 設(shè)，是整系數(shù)多項(xiàng)式，=，其中是有理系數(shù)多項(xiàng)式，那么一定是整系數(shù)的.第二章 整系數(shù)多項(xiàng)式有理根的重要定理 在高等代數(shù)中，關(guān)于整系數(shù)有理根的問(wèn)題，有如下定理：[1]設(shè)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式,而是的一個(gè)有理根,其中r,s互素,，如果的首項(xiàng)系數(shù)，那么的有理根都是整根，而且是的因子。證明：因?yàn)槭堑囊粋€(gè)有理根,因此在有理數(shù)領(lǐng)域上，從而,因?yàn)閞,s互素，，比較兩邊系數(shù)，即得因此 。將代入上式得, ：
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