有理數(shù)域上多項式不可約的判定-論文(編輯修改稿)
2025-07-19 07:26 本頁面
【文章內容簡介】 理定理 數(shù)域上每一個次數(shù)的多項式都可以唯一地分解成數(shù)域上一些不可約多項式的乘積.把多項式分解成實數(shù)域上次數(shù)比它小的幾個不可約的因式乘積的形式,由因式分解的唯一性定理確定了關于該多項式的不可約因式是唯一的的,可以得知,該多項式在上必然可約.例4 證明在有理數(shù)域上不可約.解 ，結合因式分解的唯一性定理可以知道,若在有理數(shù)域上具有可約性,必須是該等式,但由于上述等式右邊系數(shù)不都是有理數(shù),故在有理數(shù)域上不可約.例5 證明在有理數(shù)域上不可約.解 ,結合因式分解的唯一性定理可以知道,若在有理數(shù)域上具有可約性,必須該等式,但由于上述等式右邊系數(shù)不都是有理數(shù),故在有理數(shù)域上不可約. 艾森斯坦因(Eisenstein)判別法及推廣 艾森斯坦因(Eisenstein)直接判別法 定理 設是一個整系數(shù)多項式,若有一個素數(shù)使得(1)不整除最高次項的系數(shù)。(2)整除其他各項的系數(shù)。(3)不整除常數(shù)項.那么多項式在有理數(shù)域上不可約.證明 反證法 假設是有理數(shù)域上的一個非0的多項式,那么就可以寫成如下形式: 所以 ,.由被整除,因為不能被不整除,所以不能被整除,假定,……,得出等式 式中能整除,……,.例6 證明在上不可約.證明 若取,則有: （1）不能被整除。 （2）,可以被整除。 （3）不能被整除.故在有理數(shù)域上不可約.例7 在任意的情況下,證明在有理數(shù)域上不可約.解 取,則有:(1) 不能被整除。(2) ，不能被整除。(3) 不能被整除.故在有理數(shù)域上不可約.(Eisenstein)間接判別法有一類上的多項式不適合用艾森斯坦來判別,因為有些并不能滿足定理的條件,所以想到多項式的等價替換,我們可以嘗試對其做適當替換,給出艾森斯坦因間接判別法.定理 有理系數(shù)多項式在有理數(shù)域上不可約的充分必要條件是：對于任意有理數(shù)和,多項式在有理數(shù)域上不可約.證明 (充分性) ,那么可以設,（為上多項式),于是,這與不可約矛盾,故在有理數(shù)域上不可約.(必要性) ,即（是上多項式.）在上式中用代替，有 ,這說明在有理數(shù)域上是可約的,.所以對于一些在有理數(shù)域上的多項式,當不能直接用艾森斯坦因判別方式判定該多項式可約性時,可通過適當?shù)奶鎿Q后,再用艾森斯坦因判別方式來判斷.例8 證明在有理數(shù)域上不可約.證明 取,則有不被整除,能被整除,，故通過前面的分析我們可得出結論在有理數(shù)域上不可約,故在有理數(shù)域上不可約.例9 證明在有理數(shù)域不可約.證明 令,顯然,倘若在上不可約,則沒有有理根,令,代入則 由于(1) 5整除120,240,125,3。(2) 5不整除24。(3) 不整除30 故由艾森斯坦因間接判別方式可以證明出在有理數(shù)域上不可約,故在有理數(shù)域上不可約.艾森斯坦因(Eisenstein)直接判別法和間接判別法是判定多項式在上非常常用的方法,但是,這種方法是有局限性的,因為不一定每次都能找到適合的數(shù)字,使得成立,故我們給出如下的一種判別式. 通過艾森斯坦因(Eisenstein)判別法派生出的一種判別法定理 ,使得(1)不整除常數(shù)項。(2)整除其他各項的系數(shù)。(3)不整除最高次項系數(shù).則在有理數(shù)域上不可約.證明 若可約,那么可以寫成:.設 其中 .于是 .因,.,否則會與 (1) 通過假設
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