高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)歸納(編輯修改稿)
2025-05-01 05:19 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ：如果且（或）那么存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有（或 ） 推論：如果數(shù)列{}從某項(xiàng)起有（或），且，那么（或 ） 注：即使從某項(xiàng)起有（或），且 ，那么a不一定一定為，也有可能 。 ：如果數(shù)列{}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限是a。 如果數(shù)列{}有倆個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列{}是發(fā) 散的。 ⑷.數(shù)列存在的充分必要條件： 其任一子數(shù)列的極限都為 函數(shù)的極限 前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取→∞內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)的極限. 函數(shù)的極值有兩種情況：a)：自變量無(wú)限增大；b)：自變量無(wú)限接近某一定點(diǎn)x0下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來(lái)學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念! ⑴、函數(shù)的極限(分兩種情況) a):自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限 定義：設(shè)函數(shù)當(dāng)大于某一正數(shù)時(shí)有定義，若存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在著正數(shù)，使得當(dāng)滿足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式，那么常數(shù)就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或（當(dāng)）注：時(shí)的極限定義只需要將以上定義中的改為（或）即可。 下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下： b):自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限 定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε(不論其多么小)，總存在著正數(shù)，使得當(dāng)滿足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式，那么常數(shù)就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或（當(dāng)）注：在定義中只要求在去心鄰域內(nèi)不等式成立，不要求在點(diǎn)此不等式成立，意味著時(shí)以為極限與在點(diǎn)是否有定義即使有定義函數(shù)值等于什么無(wú)關(guān)。自己參考數(shù)列極限引生函數(shù)的左右極限概念。注： 時(shí)函數(shù)極限存在的充要條件： 有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來(lái)證明函數(shù)的極限為A，其證明方法是怎樣的呢？a):先任取ε＞0；b):寫出不等式；c):解不等式能否得出去心鄰域，若能；d): 則對(duì)于任給的ε＞0 ，總能找出δ，當(dāng)時(shí)， 成立，因此 ⑵、函數(shù)的極限的性質(zhì) 參考數(shù)列極限的重要性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號(hào)性 ⑶、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系如果極限存在，{}為函數(shù)的定義域內(nèi)任一收斂于的數(shù)列，且滿足：，那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列{}必收斂，且。 無(wú)窮小與無(wú)窮大 無(wú)窮大量：設(shè)有函數(shù) ，在x=x0 的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可找到正數(shù)δ，當(dāng)時(shí)， 成立，則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大量。記為： （表示為無(wú)窮大量，實(shí)際它是沒(méi)有極限的） 同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時(shí)， 無(wú)窮大的定義：設(shè)有函數(shù) ，當(dāng)x 充分大時(shí)有定義，對(duì)于任意給定的正數(shù)N(一個(gè)任意大的數(shù))，總可以找到正數(shù)M，當(dāng)時(shí)， 成立，則稱函數(shù)當(dāng)x→∞時(shí)是無(wú)窮大量，記為： 無(wú)窮小量：以0為極限的變量叫無(wú)窮小量。（定義參照無(wú)窮大）注意：無(wú)窮大量與無(wú)窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0 可作為無(wú)窮小量的唯一常量。無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的區(qū)別是：前者無(wú)界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0. 無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì) 極限與無(wú)窮小的關(guān)系：，其中是在與時(shí)自變量的同一變化趨勢(shì)下的無(wú)窮小量。無(wú)窮小的比較：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個(gè)無(wú)窮小量的和、？好！接下來(lái)我們就來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無(wú)窮小量的比較。定義：設(shè)α，β都是時(shí)的無(wú)窮小量，且β在x0 的去心鄰域內(nèi)不為零，a)：如果，則稱是的高階無(wú)窮小或β是α的低階無(wú)窮小，記作；b)：如果，則稱和是同階無(wú)窮?。籧)：如果，則稱和是等價(jià)無(wú)窮小，記作：∽(與等價(jià))；d)：如果，則稱是關(guān)于的階無(wú)窮小注：.，即只有階的高低之別，沒(méi)有數(shù)量上的關(guān)系如：當(dāng)時(shí)，都是無(wú)窮小量，但不存在，不能比較其階的高低 等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)∽，∽且存在，則.注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化求極限問(wèn)題，但是做無(wú)窮小變換時(shí)必須分子或分母整體替換，不能分子或分母分項(xiàng)替換。：：當(dāng)時(shí) ∽ ∽ ∽ ∽ ∽∽∽∽∽ ∽{且} 無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系在自變量的同一變化過(guò)程中，如果是無(wú)窮大，則為無(wú)窮下；如果是無(wú)窮小且,則為無(wú)窮大。 函數(shù)極限的運(yùn)算法則 ⑴、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則若已知(或)時(shí)，則 ,(）推論：如果存在，而為常數(shù),則 如果存在，而為正整數(shù)，則注：數(shù)列極限也有同樣的運(yùn)算性質(zhì)。 復(fù)合函數(shù)的極限的運(yùn)算法則設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成，在點(diǎn)的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，若，且存在，當(dāng)時(shí)，有，則 ⑵極限存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則一：如果數(shù)列{}，{}，{}滿足下列條件A. 從某項(xiàng)起，即存在，當(dāng)時(shí)，有B.那么數(shù)列{}的極限存在，且注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.準(zhǔn)則二：?jiǎn)握{(diào)有界的函數(shù)必有極限.注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個(gè)準(zhǔn)則都可以推廣到函數(shù)的極限，但要注意使用的條件。 ⑶、兩個(gè)重要的極限 或注：我們要記住這兩個(gè)重要的極限，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常用到它們。例題：求解答：令，則，因?yàn)閯t注：解此類型的題時(shí)，一定要
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