高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識點歸納(已修改)
2025-04-16 05:19 本頁面
【正文】 第一講 函數(shù)，極限，連續(xù)性集合的概念 一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因為它的元素不是確定的。 ⑴、全體非負(fù)整數(shù)組成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N ⑵、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集，記作N+。 ⑶、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記作Z。 ⑷、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記作Q。 ⑸、全體實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集，記作R。 集合的表示方法 ⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“｛｝”括起來表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合集合間的基本關(guān)系 ⑴、子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A 中的任意一個元素都是集合B 的元素，我們就 說A、B 有包含關(guān)系，稱集合A 為集合B 的子集，記作A ?B。 ⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此時集合A 中的元素與集合B 中 的元素完全一樣，因此集合A 與集合B 相等，記作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一個元素屬于B 但不屬于A，我們稱集合A 是集合 B 的真子集，記作A205。B。 ⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論： ①、任何一個集合是它本身的子集。 ②、對于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，則A 是C 的子集。 ③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本運算 ⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A 或?qū)儆诩螧 的元素組成的集合稱為A 與B 的并集。記作A ∪B。（在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A 且屬于集合B 的元素組成的集合稱為A 與B 的交集。記作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。 通常記作U。 ⑷、補集：對于一個集合A，由全集U 中不屬于集合A 的所有元素組成的集合稱為集合A 相對于全集U 的補集。簡稱為集合A 的補集，記作CUA。 即CUA＝｛x|x∈U，且x 不屬于A｝。 ⑸、運算公式：交換律：A∪B=B∪A A∩B=B∩A 結(jié)合律：（A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C） 分配律：（A∪B)∩C=（A∩C）∪（B∩C) （A∩B)∪C=（A∪C）∩（B∪C) 對偶律：CU（A∪B)=CUA∩CUB CU（A∩B)=CUA∪CUB集合中元素的個數(shù) ⑴、有限集：我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。 ⑵、用card 來表示有限集中元素的個數(shù)。例如A＝｛a,b,c｝，則card(A)=3。 ⑶、一般地，對任意兩個集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)常量與變量 ⑴、變量的定義：我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化， 我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其 稱 之為變量。 ⑵、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于 某兩點之間的線段上點的全體。 以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間 [a，+∞)：表示不小于a 的實數(shù)的全體，也可記為：a≤x＜+∞； (∞，b)：表示小于b 的實數(shù)的全體，也可記為：∞＜x＜b； (∞，+∞)：表示全體實數(shù)，也可記為：∞＜x＜+∞ 注：其中∞和+∞，分別讀作負(fù)無窮大和正無窮大,它們不是數(shù),僅僅是記號。 ⑶、鄰域：設(shè)α與δ是兩個實數(shù)，且δ＞│xα│＜δ的實數(shù)x 的全體稱為點α的δ鄰域，點 α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。函數(shù) ⑴、函數(shù)的定義：如果當(dāng)變量x 在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y 按照一定的法則f 總有確 定的數(shù)值與它對應(yīng)，則稱y 是x 的函數(shù)。變量x 的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域。通 常x 叫做自變量，y叫做函數(shù)值（或因變量），變量y 的變化范圍叫做這個函數(shù)的值域。 注：為了表明y 是x 的函數(shù)，我們用記號y=f(x)、y=F(x)等等來表示。這里的字母f、F表示y 與x 之 間的對應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確 定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對
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