高中數(shù)學(xué)解析幾何專題之橢圓匯總解析版資料(編輯修改稿)
2025-05-01 05:15 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 令，則又，于是當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，取得最小值，且；當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且.因而由題意，有 故所求橢圓的方程為注：由本題可見(jiàn)，橢圓的右（左）頂點(diǎn)到右（左）焦點(diǎn)的距離最小，到左（右）焦點(diǎn)的距離最大。以后在遇到相關(guān)問(wèn)題時(shí)，這個(gè)結(jié)論可以直接用。13. 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)、的連線互相垂直，且這個(gè)焦點(diǎn)與較近的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)的距離為，則這個(gè)橢圓的方程為_(kāi)_________.解：由該橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)其方程為（）設(shè)是該橢圓的右焦點(diǎn)，則與其較近的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為于是有（）又，是該橢圓上的對(duì)稱點(diǎn)，是該橢圓的右焦點(diǎn)又為等腰直角三角形，其中于是有，即又，即，代入（），得于是，故所求橢圓的方程為題型4：與橢圓的焦點(diǎn)有關(guān)的三角形問(wèn)題14. 設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，、是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則=__________.解：在橢圓中，于是，在中，由余弦定理，有于是故15. 已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在該橢圓上. 若點(diǎn)、是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則的面積為_(kāi)___________.解：在橢圓中，于是，（?。┊?dāng)以點(diǎn)或?yàn)橹苯琼旤c(diǎn)時(shí)，或，而或于是此時(shí)總有并且此種情形下，即點(diǎn)在橢圓上，滿足題意。（ⅱ）當(dāng)以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)則又，于是此時(shí)這表明，此種情形下，點(diǎn)在橢圓外，不滿足題意。故的面積為16. 已知、是橢圓在軸上的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，.（1） 求該橢圓離心率的取值范圍；（2） 求證：的面積只與該橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).解（1）：由該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)其方程為（）在中，由余弦定理，有又而，即于是又故該橢圓離心率的取值范圍是證（2）：由（1）知，故的面積只與該橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)題型5：橢圓中的最值問(wèn)題17. 設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.解：在橢圓中，，于是該橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，故18. 若滿足（），則的最大值、最小值分別為_(kāi)_________.解：在橢圓（）中，，于是該橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，表示橢圓（）上的點(diǎn)與定點(diǎn)之間的連線的斜率令，則直線的方程為，即聯(lián)立，得令則，（舍去）又，這里為橢圓（）的右頂點(diǎn)故，即的最大值為，最小值為．19. 在直線：上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________時(shí)，所作的橢圓的長(zhǎng)軸最短，此時(shí)該橢圓的方程為_(kāi)_________.解：在橢圓中，，于是該橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，要使過(guò)點(diǎn)且以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)所作的橢圓的長(zhǎng)軸最短必須使最小設(shè)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為則由，即，得 于是直線的方程為，即顯然，使取得最小值的點(diǎn)即為直線與直線的交點(diǎn)聯(lián)立，得 此時(shí)，故所求橢圓的方程為20. 若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.解：在橢圓中，于是設(shè)則，并且于是，令，其對(duì)稱軸為函數(shù)在上單調(diào)遞增于是將代入方程中，得 故的最大值為6，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.21. 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率. 已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上一點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，則該橢圓的方程為_(kāi)_________，該橢圓上到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.解：由該橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，可設(shè)其方程為（）， 而，即于是橢圓的方程可化為設(shè)是該橢圓上任意一點(diǎn)則，令，其對(duì)稱軸為（?。┊?dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減此時(shí)，于是 解得：這顯然與矛盾，因此此種情況不存在。（ⅱ）當(dāng)時(shí)，這顯然與矛盾，因此此種情況不存在。（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，函
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