高中數(shù)學(xué)解析幾何專題之橢圓匯總解析版資料(編輯修改稿)
2025-05-01 05:15 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 令，則又，于是當，即點為橢圓的右頂點時，取得最小值，且；當，即點為橢圓的左頂點時，取得最大值，且.因而由題意，有 故所求橢圓的方程為注：由本題可見，橢圓的右（左）頂點到右（左）焦點的距離最小，到左（右）焦點的距離最大。以后在遇到相關(guān)問題時，這個結(jié)論可以直接用。13. 已知橢圓的中心在坐標原點，在軸上的一個焦點與短軸的兩個端點、的連線互相垂直，且這個焦點與較近的長軸的端點的距離為，則這個橢圓的方程為__________.解：由該橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，可設(shè)其方程為（）設(shè)是該橢圓的右焦點，則與其較近的長軸的端點為于是有（）又，是該橢圓上的對稱點，是該橢圓的右焦點又為等腰直角三角形，其中于是有，即又，即，代入（），得于是，故所求橢圓的方程為題型4：與橢圓的焦點有關(guān)的三角形問題14. 設(shè)是橢圓上的一點，、是該橢圓的兩個焦點，且，則=__________.解：在橢圓中，于是，在中，由余弦定理，有于是故15. 已知、分別為橢圓的左、右焦點，點在該橢圓上. 若點、是一個直角三角形的三個頂點，則的面積為____________.解：在橢圓中，于是，（ⅰ）當以點或為直角頂點時，或，而或于是此時總有并且此種情形下，即點在橢圓上，滿足題意。（ⅱ）當以點為直角頂點時，設(shè)則又，于是此時這表明，此種情形下，點在橢圓外，不滿足題意。故的面積為16. 已知、是橢圓在軸上的兩個焦點，為橢圓上一點，.（1） 求該橢圓離心率的取值范圍；（2） 求證：的面積只與該橢圓的短軸長有關(guān).解（1）：由該橢圓的焦點在軸上，可設(shè)其方程為（）在中，由余弦定理，有又而，即于是又故該橢圓離心率的取值范圍是證（2）：由（1）知，故的面積只與該橢圓的短軸長有關(guān)題型5：橢圓中的最值問題17. 設(shè)是橢圓的左焦點，點是橢圓上的一個動點，為定點，則的最小值為__________.解：在橢圓中，，于是該橢圓的左右焦點分別為，故18. 若滿足（），則的最大值、最小值分別為__________.解：在橢圓（）中，，于是該橢圓的左右焦點分別為，表示橢圓（）上的點與定點之間的連線的斜率令，則直線的方程為，即聯(lián)立，得令則，（舍去）又，這里為橢圓（）的右頂點故，即的最大值為，最小值為．19. 在直線：上任取一點，過點且以橢圓的焦點為焦點作橢圓，則點的坐標為__________時，所作的橢圓的長軸最短，此時該橢圓的方程為__________.解：在橢圓中，，于是該橢圓的左右焦點分別為，要使過點且以橢圓的焦點為焦點所作的橢圓的長軸最短必須使最小設(shè)關(guān)于直線：的對稱點為則由，即，得 于是直線的方程為，即顯然，使取得最小值的點即為直線與直線的交點聯(lián)立，得 此時，故所求橢圓的方程為20. 若點和點分別為橢圓的中心和左焦點，點為橢圓上任意一點，則的最大值為__________，此時點的坐標為__________.解：在橢圓中，于是設(shè)則，并且于是，令，其對稱軸為函數(shù)在上單調(diào)遞增于是將代入方程中，得 故的最大值為6，此時點的坐標為.21. 設(shè)橢圓的中心是坐標原點，長軸在軸上，離心率. 已知點到這個橢圓上一點的最遠距離為，則該橢圓的方程為__________，該橢圓上到點的距離為的點的坐標是__________.解：由該橢圓的中心在坐標原點，長軸在軸上，可設(shè)其方程為（）， 而，即于是橢圓的方程可化為設(shè)是該橢圓上任意一點則，令，其對稱軸為（ⅰ）當，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減此時，于是 解得：這顯然與矛盾，因此此種情況不存在。（ⅱ）當時，這顯然與矛盾，因此此種情況不存在。（ⅲ）當，即時，函
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