高中數(shù)學(xué)解析幾何專(zhuān)題之拋物線(xiàn)(匯總解析版)(編輯修改稿)
2025-05-01 05:15 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 聯(lián)立，得 則由直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有公共點(diǎn)，有 于是（舍去）故直線(xiàn)的方程為14. 過(guò)拋物線(xiàn)（）的焦點(diǎn)作斜率為1的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，、在軸上的正射影分別為、. 若梯形的面積為，則=___________.解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為由直線(xiàn)的斜率為1，且過(guò)點(diǎn)可知，直線(xiàn)的方程為，即設(shè)，聯(lián)立， 得 解得： ，又又故15. 過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)方程為_(kāi)________.解：顯然，點(diǎn)在拋物線(xiàn)外（1）當(dāng)所求直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，顯然，過(guò)點(diǎn)且與拋物線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)方程為（2）當(dāng)所求直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)其斜率為則由其過(guò)點(diǎn)可知，所求直線(xiàn)的方程為，即聯(lián)立，得（）（?。┤?，則由（）式，有而此時(shí)所求直線(xiàn)的方程為即此時(shí)所求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的唯一公共點(diǎn)為，滿(mǎn)足題意于是當(dāng)時(shí)，所求直線(xiàn)的方程為（ⅱ）若，則對(duì)（）式，由所求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)僅有一個(gè)公共點(diǎn)，有，滿(mǎn)足題意 于是當(dāng)時(shí)，所求直線(xiàn)的方程為故所求直線(xiàn)的方程為或或16. 以?huà)佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)為圓心的圓交于、兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線(xiàn)于、兩點(diǎn)。已知，則的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)__________.解：設(shè)拋物線(xiàn)的方程為（）則其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為于是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，、兩點(diǎn)也關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)設(shè)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)則，設(shè)以?huà)佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)為圓心的圓的半徑為則在中，即①設(shè)則由知，代入方程中，得，即在中，即②①②,得 ，解得：或（舍去）又故，即的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為417. 已知正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)、在拋物線(xiàn)上，、兩點(diǎn)在直線(xiàn)：上，則正方形的面積為_(kāi)__________.解：在拋物線(xiàn)中，即該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為由及所在直線(xiàn)的方程為，即，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，即設(shè)，聯(lián)立， 得 由韋達(dá)定理，有于是又平行直線(xiàn)：與：之間的距離，即 解得：或于是或故或，即正方形的面積為18或50.題型4：與拋物線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題18. 若拋物線(xiàn)（）上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則=___________.解： 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為設(shè)則又點(diǎn)在拋物線(xiàn)上于是又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，且于是有故注：由本題可見(jiàn)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離最小。以后在遇到相關(guān)問(wèn)題時(shí)，這個(gè)結(jié)論可以直接用。19. 已知直線(xiàn)：和直線(xiàn)：，則拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離之和的最小值為_(kāi)__________，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________.解：在拋物線(xiàn)中，即該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為記點(diǎn)到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離分別為、（1）求由拋物線(xiàn)的定義知，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離于是顯然，的最小值即為點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離于是即動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離之和的最小值為2.（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)過(guò)點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)：的直線(xiàn)為則的方程為，即聯(lián)立，得 解得：或（舍去） 故，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離之和取得最小值2時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.20. 已知定長(zhǎng)為3的線(xiàn)段的端點(diǎn)、在拋物線(xiàn)上移動(dòng)，是該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，、兩點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)分別是、則線(xiàn)段的中點(diǎn)到軸的距離的最小值是___________，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________.解：在拋物線(xiàn)中，即該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)的方程為作于點(diǎn)則有又由拋物線(xiàn)的定義，有，而于是有，當(dāng)且僅當(dāng)弦過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)時(shí)，“=”成立，即此時(shí)點(diǎn)到軸的距離最小，并且為求點(diǎn)的坐標(biāo)，下面我們求由、可知，直線(xiàn)的斜率存在，不妨設(shè)為則由直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)可知，其方程為，即設(shè)，則聯(lián)立， 得 由韋達(dá)定理，有于是有，即 故即當(dāng)點(diǎn)到軸的距離取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.注：當(dāng)設(shè)出直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)后，交點(diǎn)既在直線(xiàn)上，又在曲線(xiàn)上，即交點(diǎn)的坐標(biāo)不僅滿(mǎn)足直線(xiàn)方程，也滿(mǎn)足曲線(xiàn)方程，這一點(diǎn)在解題時(shí)，要格外注意。21. 已知直線(xiàn)的方程為，是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，則
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