高中數(shù)學(xué)解析幾何專(zhuān)題之橢圓匯總解析版資料-在線(xiàn)瀏覽
2025-05-22 05:15本頁(yè)面
【正文】 和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.解：在橢圓中，于是設(shè)則，并且于是，令，其對(duì)稱(chēng)軸為函數(shù)在上單調(diào)遞增于是將代入方程中，得 故的最大值為6，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.21. 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率. 已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上一點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，則該橢圓的方程為_(kāi)_________，該橢圓上到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.解：由該橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，可設(shè)其方程為（）， 而，即于是橢圓的方程可化為設(shè)是該橢圓上任意一點(diǎn)則，令，其對(duì)稱(chēng)軸為（?。┊?dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減此時(shí)，于是 解得：這顯然與矛盾，因此此種情況不存在。（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減此時(shí)，于是 解得：，滿(mǎn)足題意。若，則該橢圓的離心率為_(kāi)_________.解：（法一）在中， 又于是故該橢圓的離心率為（法二）在中，而，即解得：或（舍去）故該橢圓的離心率為25. 已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，且，則的離心率為_(kāi)_________.解：（法一）不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則其方程可設(shè)為（）設(shè)，則，于是由，有 又點(diǎn)在橢圓上 于是又故橢圓的離心率為（法二）不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上設(shè)，則作于點(diǎn)則由，有，即又由橢圓的第二定義，有又于是又故橢圓的離心率為26. 在平面直角坐標(biāo)系中，是橢圓（）的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率是__________.解：在中，令，則 于是， 而，又 于是又于是又故該橢圓的離心率27. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：（）的左焦點(diǎn)，、分別為的左、右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且軸，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則的離心率為_(kāi)_________.解：由，有由，有于是有故的離心率（法二）直線(xiàn)：，即由，得，所以由，得，所以由，有故的離心率題型7：與橢圓有關(guān)的綜合問(wèn)題28. 橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，一直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，弦被點(diǎn)平分，則直線(xiàn)的方程為_(kāi)_________.解：設(shè)，則①，?、冖伲诘茫塾值闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，代入③得，④顯然于是由④有，即又直線(xiàn)過(guò)其中點(diǎn)故直線(xiàn)的方程為，即29. 已知橢圓：（）的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為_(kāi)_________.解：橢圓：（）的右焦點(diǎn)為①設(shè)，則② ， ③②③得，④又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入④得，⑤顯然于是由④有，即又⑥由①、⑥得，故橢圓的方程為Py30. 如圖，設(shè)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)在軸上的投影，為上一點(diǎn)，且.M（1） 當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；ODx（2） 求過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)被所截線(xiàn)段的長(zhǎng)度.解：（1）設(shè)，則由題設(shè)條件知， 而點(diǎn)在圓上故點(diǎn)的軌跡的方程為（2） 過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)的方程為，即點(diǎn)的軌跡的方程可化為設(shè)直線(xiàn)與的交點(diǎn)為，則直線(xiàn)被所截線(xiàn)段的長(zhǎng)度為聯(lián)立，得由韋達(dá)定理，有于是故過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)被所截線(xiàn)段的長(zhǎng)度為31. 已知橢圓，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線(xiàn)和分別與該橢圓交于點(diǎn)、和、．記得到的平行四邊形的面積為．（1）設(shè)，．用、的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，并證明；（2）設(shè)與的斜率之積為，求面積的值．解：（1）在橢圓，即中，（?。┊?dāng)直線(xiàn)和的斜率均存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，即于是點(diǎn)到直線(xiàn)：的距離又四邊形為平行四邊形故（ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在（此時(shí)即為軸），直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，此時(shí)點(diǎn)中，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離（ⅲ）當(dāng)直線(xiàn)
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