【文章內容簡介】 若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證. 即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直。利用向量求空間角⑴求異面直線所成的角已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，　　則⑵求直線和平面所成的角 ①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角②求法：設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補角：⑶求二面角①定義：平面內的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面OABOABl二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一點O，分別在兩個半平面內作射線，則為二面角的平面角.如圖：②求法：設二面角的兩個半平面的法向量分別為，再設的夾角為，二面角的平面角為，則二面角為的夾角或其補角根據具體圖形確定是銳角或是鈍角：◆如果是銳角，則，即；◆ 如果是鈍角，則， 即.利用法向量求空間距離⑴點Q到直線距離 若Q為直線外的一點,在直線上，為直線的方向向量，=，則點Q到直線距離為 ⑵點A到平面的距離若點P為平面外一點，點M為平面內任一點，平面的法向量為，則P到平面的距離就等于在法向量方向上的投影的絕對值. 即 ⑶直線與平面之間的距離 當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離，即轉化為點面距離。 即⑷兩平行平面之間的距離 利用兩平行平面間的距離處處相等，可將兩平行平面間的距離轉化為求點面距離。即⑸異面直線間的距離 設向量與兩異面直線都垂直，則兩異面直線間的距離就是在向量方向上投影的絕對值。 即三垂線定理及其逆定理⑴三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直推理模式：概括為：垂直于射影就垂直于斜線.⑵三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直推理模式：概括為：垂直于斜線就垂直于射影.三余弦定理設AC是平面內的任一條直線，AD是的一條斜線AB在內的射影，且BD⊥AD， (AD)所成的角為， AD與AC所成的角為， AB與AC所成的角為．則. 面積射影定理已知平面內一個多邊形的面積為，它在平面內的射影圖形的面積為，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則 一個結論 長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有 .（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.必修5數學知識點第一章：解三角形正弦定理：.（其中為外接圓的半徑）用途：⑴已知三角形兩角和任一邊，求其它元素； ⑵已知三角形兩邊和其中一邊的對角，求其它元素。余弦定理：用途：⑴已知三角形兩邊及其夾角，求其它元素；⑵已知三角形三邊，求其它元素。做題中兩個定理經常結合使用.三角形面積公式：三角形內角和定理： 在△ABC中，有.一個常用結論： 在中，若特別注意，在三角函數中，不成立。第二章：數列數列中與之間的關系：注意通項能否合并。等差數列：⑴定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N），那么這個數列就叫做等差數列。⑵等差中項：若三數成等差數列⑶通項公式： 或 ⑷前項和公式：⑸常用性質：①若，則；②下標為等差數列的項，仍組成等差數列；③數列（為常數）仍為等差數列；④若、是等差數列，則、 (、是非零常數)、…也成等差數列。⑤單調性：的公差為，則：?。檫f增數列；ⅱ）為遞減數列；ⅲ）為常數列；⑥數列{}為等差數列（p,q是常數）⑦若等差數列的前項和，則、… 是等差數列。等比數列⑴定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列就叫做等比數列。⑵等比中項：若三數成等比數列（同號）。反之不一定成立。⑶通項公式：⑷前項和公式：⑸常用性質①若，則；②為等比數列，公比為(下標成等差數列,則對應的項成等比數列)③數列（為不等于零的常數）仍是公比為的等比數列；正項等比數列；則是公差為的等差數列；④若是等比數列，則 是等比數列，公比依次是⑤單調性：為遞增數列；為遞減數列；為常數列；為擺動數列；⑥既是等差數列又是等比數列的數列是常數列。⑦若等比數列的前項和，則、… 是等比數列.非等差、等比數列通項公式的求法類型Ⅰ 觀察法：已知數列前若干項，求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據規(guī)律寫出此數列的一個通項。類型Ⅱ 公式法：若已知數列的前項和與的關系，求數列的通項可用公式 構造兩式作差求解。用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達，（要先分和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一）。類型Ⅲ 累加法：形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造： 將上述個式子兩邊分別相加，可得：①若是關于的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和。 ② 若是關于的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和。③若是關于的二次函數，累加后可分組求和。 ④若是關于的分式函數，累加后可裂項求和. 類型Ⅳ 累乘法：形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造： 將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。類型Ⅴ 構造數列法：㈠形如（其中均為常數且）型的遞推式： （1）若時，數列{}為等差數列。 （2）若時，數列{}為等比數列。（3）若且時，數列{}為線性遞推數列，： 法一：設,展開移項整理得,與題設比較系數（待定系數法）得,即構成以為首項，法二：由得兩式相減并整理得即構成以為首項，Ⅲ（累加法）便可求出㈡形如型的遞推式：⑴當為一次函數類型（即等差數列）時：法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得法二：當的公差為時，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉化為類型Ⅴ㈠求出 ，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出⑵當為指數函數類型（即等比數列）時：法一：設，通過待定系數法確定的值，轉化成以為首項，以為公比的等比數列，再利用等比數列的通項公式求出的通項整理可得法二：當的公比為時，由遞推式得：——①，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉化為類型Ⅴ㈠便可求出法三：遞推公式為（其中p，q均為常數）或（其中p，q, r均為常數）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數列（其中），得：再應用類型Ⅴ㈠的方法解決。⑶當為任意數列時，可用通法： 在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得.類型Ⅵ 對數變換法：形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對數得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數不一定要取10，可根據題意選擇）。類型Ⅶ 倒數變換法：形如（為常數且）的遞推式：兩邊同除于，轉化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數方法轉化成形式，化歸為型求出的表達式，再求.類型Ⅷ 形如型的遞推式：用待定系數法，化為特殊數列的形式求解。方法為：設，比較系數得，可解得，于是是公比為的等比數列，這樣就化歸為型。總之，求數列通項公式可根據數列特點采用以上不同方法求解，對不能轉化為以上方法求解的數列，可用歸納、猜想、證明方法求出數列通項公式非等差、等比數列前項和公式的求法⑴錯位相減法①若數列為等差數列，數列為等比數列，則數列的求和就要采用此法.②將數列的每一項分別乘以的公比，然后在錯位相減，進而可得到數列的前項和.此法是在推導等比數列的前項和公式時所用的方法.⑵裂項相消法一般地，當數列的通項 時，往往可將變成兩項的差，采用裂項相消法求和.可用待定系數法進行裂項：設，通分整理后與原式相比較，根據對應項系數相等得，從而可得常見的拆項公式有：①② ③④⑤⑶分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，：①找通向項公式②由通項公式確定如何分組.⑷倒序相加法如果一個數列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到了一個常數列的和，這種求和方法稱為倒序相加法。特征：⑸記住常見數列的前項和：①②③第三章：不等式167。、不等關系與不等式不等式的基本性質①（對稱性）②（傳遞性）③（可加性）（同向可加性）（異向可減性）④（可積性）⑤（同向正數可乘性）（異向正數可除性）⑥（平方法則）⑦（開方法則）⑧（倒數法則）幾個重要不等式①,（當且僅當時取號）. 變形公式：②（基本不等式） ,（當且僅當時取到等號）.變形公式： 用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.③（三個正數的算術—幾何平均不等式）（當且僅當時取到等號）.④（當且僅當時取到等號）.⑤（當且僅當時取到等號）.⑥（當僅當a=b時取等號）（當僅當a=b時取等號）⑦其中規(guī)律：小于1同加則變大，大于1同加則變小.⑧⑨絕對值三角不等式幾個著名不等式①平均不等式：,（當且僅當時取號）.（即調和平均幾何平均算術平均平方平均）. 變形公式： ②冪平均不等式：③二維形式的三角不等式：④二維形式的柯西不等式： 當且僅當時，等號成立.⑤三維形式的柯西不等式：⑥一般形式的柯西不等式：⑦向量形式的柯西不等式：設是兩個向量，則當且僅當是零向量，或存在實數，使時，等號成立.⑧排序不等式（排序原理）：，則（反序和亂序和順序和）當且僅當或時，反序和等于順序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函數、凹函數）若定義在某區(qū)間上的函數,對于定義域中任意兩點有則稱f(x)為凸（或凹）函數.不等式證明的幾種常用方法 常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等.常見不等式的放縮方法：①舍去或加上一些項，如②將分子或分母放大（縮?。?，如 等.一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數為正數.二判：判斷對應方程的根.三求：求對應方程的根.四畫：畫出對應函數的圖象.五解集：根據圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當二次項系數為正時，小于取中間，大于取兩邊.高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標在數軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.分式不等式的解法：先移項通分標準化，則 （時同理）規(guī)律：把分式不等式等價轉化為整式不等式求解.無理不等式的解法：轉化為有理不等式求解⑴⑵⑶⑷⑸規(guī)律：把無理不等式等價轉化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.指數不等式的解法：⑴當時,⑵當時, 規(guī)律：根據指數函數的性質轉化.對數不等式的解法⑴當時, ⑵當時, 規(guī)律：根據對數函數的性質轉化.1含絕對值不等式的解法：⑴定義法：⑵平方法：⑶同解變形法，其同解定理有：①②③④規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號.1含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.1含參數的不