數(shù)學必修五(二)(編輯修改稿)
2025-05-01 04:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 山的高度約為150米.例13如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得公路南側(cè)遠處一山頂D在東偏南15的方向上,行駛5km后到達B處,測得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度CD.解:在ABC中, A=15,C= 2515=10,根據(jù)正弦定理, = , BC == ≈ (km)CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)答:山的高度約為1047米例14如圖，一艘海輪從A出發(fā)， n mile后到達海島B,然后從B出發(fā), n ,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(, mile)分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。解：在ABC中，ABC=180 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理，AC= = ≈根據(jù)正弦定理, = sinCAB = = ≈,所以 CAB =, 75 CAB =答:, mile例15在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =1804， = 。 因為 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30 =15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來求解）設(shè)DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2==2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= ①在RtADE中，sin4=, ② ②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m例16某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？分析：這道題的關(guān)鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) = 9+ (10x) 2910xcos化簡得32x30x27=0，即x=,或x=(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因為sinBAC ===BAC =38,或BAC =141（鈍角不合題意，舍去），38+=83答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83方向去追，.評注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關(guān)現(xiàn)實生活的應(yīng)用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解【考題解析】★★★高考在考什么【考題回放】1．設(shè)分別是的三個內(nèi)角所對的邊，則是的（ A ）（A）充分條件 （B）充分而不必要條件 （C）必要而充分條件 （D）既不充分又不必要條件2．在中，已知，給出以下四個論斷： ① ② ③ ④ 其中正確的是（ B ） （A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③3．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為__________.4．如果的三個內(nèi)角的余弦值分別等于的三個內(nèi)角的正弦值，則（）A．和都是銳角三角形B．和都是鈍角三角形C．是鈍角三角形，是銳角三角形D．是銳角三角形，是鈍角三角形5．己知A、C是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，且tanA, tanC是方程x2px+1p＝0(p≠0，且p∈R)，的兩個實根，則tan(A+C)=_______，tanA,tanC的取值范圍分別是___ _和__ ___，p的取值范圍是__________；(0，)；(0，)；［，1) 6．在ΔABC中，已知，AC邊上的中線BD=，求sinA.【專家解答】 設(shè)E為BC的中點，連接DE，則DE//AB，且，設(shè)BE=x 在ΔBDE中可得，解得，（舍去）故BC=2，從而，即 又，故，★★★高考要考什么【考點透視】本專題主要考查正弦定理和余弦定理．【熱點透析】三角
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