數(shù)學(xué)必修五(二)(已修改)
2025-04-16 04:28 本頁面
【正文】 人教版數(shù)學(xué)必修五第一章 解三角形 重難點(diǎn)解析第一章 課文目錄1．1 正弦定理和余弦定理 1．2 應(yīng)用舉例 1．3 實(shí)習(xí)作業(yè) 【重點(diǎn)】正弦定理、余弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用；實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問題的解決。結(jié)合實(shí)際測(cè)量工具，解決生活中的測(cè)量高度問題。能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系。推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目?！倦y點(diǎn)】已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用，正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖，能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問題的關(guān)鍵條件。靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題。利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題。【要點(diǎn)內(nèi)容】一、正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即== =2R（R為△ABC外接圓半徑）1．直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即 c=， c= ， c=． ∴==2．斜三角形中 證明一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中S△ABC= 兩邊同除以即得：==證明二：（外接圓法）如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴同理 =2R，＝2R證明三：（向量法）過A作單位向量垂直于由 += 兩邊同乘以單位向量 得 ?(+)=?則?+?=?∴||?||cos90176。+||?||cos(90176。C)=||?||cos(90176。A)∴ ∴=同理，若過C作垂直于得： = ∴==正弦定理的應(yīng)用正弦定理可以用來解兩種類型的三角問題：1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2．兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角。（見圖示）已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況:⑴若A為銳角時(shí):⑵若A為直角或鈍角時(shí):余弦定理余弦定理用語言可以這樣敘述，三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和再減去這兩邊與夾角余弦的乘積的2倍．即： 若用三邊表示角，余弦定理可以寫為余弦定理可解以下兩種類型的三角形：（1）已知三角形的三條邊長，可求出三個(gè)內(nèi)角；（2）已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊．注意：在（0，π）范圍內(nèi)余弦值和角的一一對(duì)應(yīng)性．若cosA＞0．則A為銳角；若cosA=0，則A為直角；若cosA＜0，則A為鈍角．余弦定理與勾股定理的關(guān)系、余弦定理與銳角三角函數(shù)的關(guān)系在△ABC中，c2=a2+b22abcosC．若∠C=90176。，則cosC=0，于是c2=a2+b22ab0=a2+b2．說明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．這與Rt△ABC中，∠C=90176。的銳角三角函數(shù)一致，即直角三角形中的銳角三角函數(shù)是余弦定理的特例．三角形的有關(guān)定理：內(nèi)角和定理：A+B+C=180176。，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= cosC,cos=sin, sin=cos面積公式：S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r為內(nèi)切圓半徑)射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）、分析題意，弄清已知和所求；（2）、根據(jù)提意，畫出示意圖；（3）、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，寫出已知所求；（4）、正確運(yùn)用正、余弦定理?！镜湫屠}】例1 已知在解：∴由得 由得例2 在解：∵∴例3 解：，例4 已知△ABC，BＤ為B的平分線，求證：AB∶BC＝AＤ∶ＤC分析：前面大家所接觸的解三角形問題是在一個(gè)三角形內(nèi)研究問題，而B的平分線BD將△ABC分成了兩個(gè)三角形：△ABD與△CBD，故要證結(jié)論成立，可證明它的等價(jià)形式：AB∶AD＝BC∶DC，從而把問題轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形內(nèi)，而在三角形內(nèi)邊的比等于所對(duì)角的正弦值的比，故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)相等角正弦值相等，互補(bǔ)角正弦值也相等即可證明結(jié)論.證明：在△ABD內(nèi)，利用正弦定理得：在△BCD內(nèi)，利用正弦定理得：∵BD是B的平分線.∴∠ABD＝∠DBC ∴sinABD＝sinDBC.∵∠ADB＋∠BDC＝180176。∴sinADB＝sin（180176。－∠BDC）＝sinBDC∴∴評(píng)述：此題可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，并且注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用.例5在ΔABC中，已知a=,b=,B=45176。，求A,C及邊c．解：由正弦定理得：sinA=,因?yàn)锽=45176。90176。且ba,所以有兩解A=60176?；駻=120176。(1)當(dāng)A=60176。時(shí),C=180176。(A+B)=75176。， c=,(2)當(dāng)A=120176。時(shí),C=180176。(A+B)=15 1
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