數(shù)學(xué)乘法公式的靈活運(yùn)用(編輯修改稿)
2025-05-01 04:22 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 上每?jī)身?xiàng)乘積的2倍． 例6 計(jì)算(2x+y3)2 解：原式=(2x)2+y2+(3)2+22xy+22x(3)+2y(3) =4x2+y2+9+4xy12x6y． （四）、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式 例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值； (2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x2y)2的值． 分析：粗看似乎無(wú)從下手，但注意到乘法公式的下列變形：x2+y2=(x+y)22xy，x3+y3=(x+y)33xy(x+y)，(x+y)2(xy)2=4xy，問(wèn)題則十分簡(jiǎn)單． 解：(1)∵x3+y3=(x+y)33xy(x+y)，將已知條件代入得100=1033xy10， ∴xy=30 故x2+y2=(x+y)22xy=102230=40． (2)(x2y)2=(x+2y)28xy=7286=1． 例8 計(jì)算(a+b+c)2+(a+bc)2+(ab+c)+(ba+c)2． 分析：直接展開(kāi)，運(yùn)算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出(a+b)2+(ab)2=2(a2+b2)，因而問(wèn)題容易解決． 解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)c]2+[c+(ab)]2+[c(ab)]2 =2[(a+b)2+c2]+2[c2+(ab)2] =2[(a+b)2+(ab)2]+4c2 =4a2+4b2+4c2 （五）、注意乘法公式的逆運(yùn)用 例9 計(jì)算(a2b+3c)2(a+2b3c)2． 分析：若按完全平方公式展開(kāi)，再相減，運(yùn)算繁雜，但逆用平方差公式，則能使運(yùn)算簡(jiǎn)便得多． 解：原式=[(a2b+3c)+(a+2b3c)][(a2b+3c)(a+2b3c)] =2a(4b+6c)=8ab+12ac． 例10 計(jì)算(2a+3b)22(2a+3b)(5b4a)+(4a5b)2 分析：此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開(kāi)后計(jì)算，但逆用完全平方公式，則運(yùn)算更為簡(jiǎn)便． 解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a5b)+(4a5b)2 =[(2a+3b)+(4a5b)]2 =(6a2b)2=36a224ab+4b2．四、怎樣熟練運(yùn)用公式：（一）、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運(yùn)用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且在這四項(xiàng)中有兩項(xiàng)完全相同，另兩項(xiàng)是互為相反數(shù)；等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，且是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運(yùn)用公式．（二）、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運(yùn)用公式．如計(jì)算（x+2y－3z）2，若視x+2y為公式中的a，3z為b，則就可用（a－b）2=a2－2ab+b2來(lái)解了。（三）、熟悉常見(jiàn)的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì)算，此時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn)．常見(jiàn)的幾種變化是：位置變化 如（3x+5y）（5y－3x）交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計(jì)算了．符號(hào)變化 如（－2m－7n）（2m－7n）變?yōu)椋?m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不變或不這樣變，可以嗎？）數(shù)字變化 如98102，992，912等分別變?yōu)椋?00－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能夠用乘法公式加以解答了．系數(shù)變化 如（4m+）（2m－）變?yōu)?（2m+）（2m－）后即可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了．項(xiàng)數(shù)變化 如（x+3y+2z）（x－3y+6z）變?yōu)椋▁+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再適當(dāng)分組就可以用乘法公式來(lái)解了．（四）、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來(lái)解，此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂?jì)算更簡(jiǎn)便．如計(jì)算（a2+1）2（a2－1）2，若分別展開(kāi)后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計(jì)算，則非常簡(jiǎn)便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向（從左到右）運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意逆向（從右到左）運(yùn)用．如計(jì)算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計(jì)算繁難，而且容易出錯(cuò)．若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題．即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）…（1－）（1+）=… ==．有時(shí)有些問(wèn)題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．用這些變式解有關(guān)問(wèn)題常能收到事半功倍之效．如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+ n2的值．面對(duì)這樣的問(wèn)題就可用上述變式來(lái)解，即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2（－18）=49+36=85，m2－mn+ n2= （m+n）2－3mn=72－3（－18）=103．下列各題，
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