數(shù)學(xué)乘法公式的靈活運(yùn)用(已修改)
2025-04-16 04:22 本頁面
【正文】 乘法公式的靈活運(yùn)用一、復(fù)習(xí):(a+b)(ab)=a2b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (ab)2=a22ab+b2 (a+b)(a2ab+b2)=a3+b3 (ab)(a2+ab+b2)=a3－b3 歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式：① 位置變化，(x+y)(y+x)=x2y2② 符號(hào)變化，(x+y)(xy)=(x)2y2= x2y2③ 指數(shù)變化，(x2+y2)(x2y2)=x4y4④ 系數(shù)變化，(2a+b)(2ab)=4a2b2⑤ 換式變化，[xy+(z+m)][xy(z+m)]=(xy)2(z+m)2=x2y2(z+m)(z+m)=x2y2(z2+zm+zm+m2)=x2y2z22zmm2⑥ 增項(xiàng)變化，(xy+z)(xyz)=(xy)2z2=(xy)(xy)z2=x2xyxy+y2z2=x22xy+y2z2⑦ 連用公式變化，(x+y)(xy)(x2+y2)=(x2y2)(x2+y2)=x4y4⑧ 逆用公式變化，(xy+z)2(x+yz)2 =[(xy+z)+(x+yz)][(xy+z)(x+yz)] =2x(2y+2z) =4xy+4xz例1．已知，求的值。解：∵ ∴=∵， ∴=例2．已知，求的值。解：∵ ∴ ∴= ∵， ∴ 例3：計(jì)算1999220001998〖解析〗此題中2000=1999+1，1998=19991，正好符合平方差公式。解：1999220001998 =19992（1999+1）（19991） =19992（1999212）=1999219992+1 =1例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(ab)2的值?！冀馕觥酱祟}可用完全平方公式的變形得解。解：a2+b2=(a+b)22ab=42=2 （ab)2=(a+b)24ab=44=0例5：已知xy=2，yz=2，x+z=14。求x2z2的值?！冀馕觥酱祟}若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出x、y、z的值，比較麻煩，考慮到x2z2是由x+z和xz的積得來的，所以只要求出xz的值即可。解：因?yàn)閤y=2，yz=2，將兩式相加得xz=4，所以x2z2=（x+z）(xz)=144=56。例6：判斷（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的個(gè)位數(shù)字是幾？〖解析〗此題直接計(jì)算是不可能計(jì)算出一個(gè)數(shù)字的答案，故有一定的規(guī)律可循。觀察到1=（21）和上式可構(gòu)成循環(huán)平方差。解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1 =（21）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1 =24096 =161024因?yàn)楫?dāng)一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6的時(shí)候，這個(gè)數(shù)的任意正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字都是6，所以上式的個(gè)位數(shù)字必為6。例7．運(yùn)用公式簡便計(jì)算（1）1032 （2）1982解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2180。100180。3+32 =10000+600+9 =10609 （2）1982=(2002)2 =20022180。200180。2+22 =40000800+4 =39204例8．計(jì)算（1）(a+4b3c)(a4b3c) （2）(3x+y2)(3xy+2)解：（1）原式=[(a3c)+4b][(a3c)4b]=(a3c)2(4b)2=a26ac+9c216b2 （2）原式=[3x+(y2)][3x(y2)]=9x2( y24y+4)=9x2y2+4y4例9．解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(ab)2的值。（2）已知(a+b)2=7，(ab)2=4，求a2+b2，ab的值。（3）已知a(a1)(a2b)=2，求的值。（4）已知，求的值。分析：在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中，如果把a(bǔ)+b，a2+b2和ab分別看作是一個(gè)整體，則公式中有三個(gè)未知數(shù)，知道了兩個(gè)就可以求出第三個(gè)。解：（1）∵a2+b2=13，ab=6 \(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2180。6=25 (ab)2=a2+b22ab=132180。6=1 （2）∵(a+b)2=7，(ab)2=4 \ a2+2ab+b2=7 ① a22ab+b2=4 ② ①+②得 2(a2+b2)=11，即 ①②得 4ab=3，即 （3）由a(a1)(a2b)=2 得ab=2 （4）由，得 即 即
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