初中數(shù)學(xué)乘法公式(已修改)
2025-08-05 20:17 本頁(yè)面
【正文】 .乘法公式概念總匯平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，即（a+b）（ab）=ab說(shuō)明：（1）幾何解釋平方差公式如右圖所示：邊長(zhǎng)a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形。第一種：用正方形的面積公式計(jì)算：a2－b2；第二種：將陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)為（a＋b），寬為（a－b）， 它的面積是：（a＋b）（a－b）結(jié)論：第一種和第二種相等，因?yàn)楸硎镜氖峭粔K陰影部分的面積。所以：a2－b2＝（a＋b）（a－b）。（2）在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，關(guān)鍵是要觀(guān)察所給多項(xiàng)式的特點(diǎn)，是否符合平方差公式的形式，即只有當(dāng)這兩個(gè)多項(xiàng)式它們的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能夠運(yùn)用平方差公式。平方差公式的a和b，可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式，還可以表示數(shù)。應(yīng)用平方差公式可以進(jìn)行簡(jiǎn)便的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，同時(shí)也可以簡(jiǎn)化一些數(shù)字乘法的運(yùn)算完全平方公式完全平方公式：兩個(gè)數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們積的兩倍，即（a+b）=a+2ab+b，（ab）=a2ab+b這兩個(gè)公式叫做完全平方公式。平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式說(shuō)明：（1）幾何解釋完全平方（和）公式 如圖用多種形式計(jì)算右圖的面積第一種：把圖形當(dāng)做一個(gè)正方形來(lái)看，所以 它的面積就是：（a＋b）2第二種：把圖形分割成由2個(gè)正方形和2個(gè)相同的長(zhǎng)方形來(lái)看，其中大正方形的的邊長(zhǎng)是a，小正方形的邊長(zhǎng)是b，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是a，寬是b，所以 它的面積就是：a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2結(jié)論：第一種和第二種相等，因?yàn)楸硎镜氖峭粋€(gè)圖形的面積所以：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（2）幾何解釋完全平方（差）公式 如圖用多種形式計(jì)算陰影部分的面積第一種：把陰影部分當(dāng)做一個(gè)正方形來(lái)看，所以 它的面積就是：（ab）2第二種：把圖形分割成由2個(gè)正方形和2個(gè)相同的長(zhǎng)方形來(lái)看，其中大正方形的的邊長(zhǎng)是a，小正方形的邊長(zhǎng)是b，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是（ab），寬是b，所以 它的面積就是：結(jié)論：第一種和第二種相等，因?yàn)楸硎镜氖峭粋€(gè)圖形的面積所以：（3）在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，防止出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：（a+b）=a+b，（ab）=ab。要注意符號(hào)的處理，不同的處理方法就有不同的解法，注意完全平方公式的變形的運(yùn)用。完全平方公式的a和b，可以表示任意的數(shù)或代數(shù)式，因此公式的使用就不必限于兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，而可以擴(kuò)大到兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，但要注意在表示成完全平方公式的形式才能運(yùn)用公式，完全平方公式有著廣泛的應(yīng)用，尤其要注意完全平方公式和平方差公式的綜合應(yīng)用 方法引導(dǎo) 乘法公式的基本計(jì)算例1 利用平方差公式計(jì)算：（1）（3x＋5y）（3x－5y）；（2）（＋a）（＋a）（3）（m＋n）（m－n）難度等級(jí)：A 解：（1）(3x＋5y)(3x－5y)＝(3x)2－(5y)2＝9x2－25y2 ↓ ↓ ↓ ↓ （a＋b）（a－b）＝ a2 － b2 （2）（＋a）（＋a）＝（a＋）（a－）＝a2－ ↓ ↓ ↓ ↓ （a＋b）（a－b） ＝ a2 － b2 （3）（－m＋n）（－m－n）＝（－m）2－n2＝m2－n2 ↓ ↓ ↓ ↓ （a＋b）（a－b） ＝ a2 － b2【知識(shí)體驗(yàn)】仔細(xì)觀(guān)察例題，看出兩個(gè)多項(xiàng)式之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，找到兩個(gè)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)相同，而第二項(xiàng)互為相反數(shù)，符合運(yùn)用平方差公式的條件，利用公式解題，得出結(jié)果【解題技巧】平方差公式的基本在于找到兩個(gè)多項(xiàng)式的相同項(xiàng)和不同項(xiàng)，相同項(xiàng)就是a，不同項(xiàng)就是b和b，所以多項(xiàng)式中項(xiàng)的位置顛倒時(shí)，可以先調(diào)換位置，再運(yùn)用平方差公式【搭配練習(xí)】用平方差公式計(jì)算（1）（－－y）（－＋y）（2）（－2x＋3y）（－2x－3y）（3）（2x－5）（2x＋5）－（2x＋1）（2x－1）例2 利用完全平方公式計(jì)算（1）（2a＋3）2 （2）（－）2 （3）（2x－3y）2 （4）（1－3x）（3x1）難度等級(jí)：A 解
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