數(shù)學(xué)乘法公式的靈活運(yùn)用-文庫吧
2025-03-20 04:22 本頁面
【正文】 例10．四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，一定是平方數(shù)嗎？為什么？分析：由于1180。2180。3180。4+1=25=52 2180。3180。4180。5+1=121=112 3180。4180。5180。6+1=361=192 …… 得猜想：任意四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1，都是平方數(shù)。解：設(shè)n，n+1，n+2，n+3是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)則n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n+1)2∵n是整數(shù)，\ n2，3n都是整數(shù) \ n2+3n+1一定是整數(shù)\(n2+3n+1)是一個(gè)平方數(shù) \四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積與1的和必是一個(gè)完全平方數(shù)。例11．計(jì)算 （1）(x2x+1)2 （2）(3m+np)2解：（1）(x2x+1)2=(x2)2+(x)2+12+2 x2(x)+2x21+2(x)1=x4+x2+12x3+2x22x=x42x3+3x22x+1 （2）(3m+np)2=(3m)2+n2+(p)2+23mn+23m(p)+2n(p)=9m2+n2+p2+6mn6mp2np分析：兩數(shù)和的平方的推廣 (a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac幾個(gè)數(shù)的和的平方，等于它們的平方和加上每?jī)蓚€(gè)數(shù)的積的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用:這是最初的公式運(yùn)用階段，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈，準(zhǔn)確地掌握其特征，為辨認(rèn)和運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)，同時(shí)能提高學(xué)生的觀察能力。例1. 計(jì)算： 解：原式(二)、連用:連續(xù)使用同一公式或連用兩個(gè)以上公式解題。例2. 計(jì)算：解：原式例3. 計(jì)算：解：原式三、逆用:學(xué)習(xí)公式不能只會(huì)正向運(yùn)用，有時(shí)還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運(yùn)用其解決問題。例4. 計(jì)算：解：原式四、變用: 題目變形后運(yùn)用公式解題。例5. 計(jì)算：解：原式五、活用: 把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：靈活運(yùn)用這些公式，往往可以處理一些特殊的計(jì)算問題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。例6. 已知，求的值。解：例7. 計(jì)算：解：原式例8. 已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足，那么（ ）解：由兩個(gè)完全平方公式得：從而 三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題 （一）、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”． 例1 計(jì)算(2x25)(2x25) 分析：本題兩個(gè)因式中“5”相同，“2x2”符號(hào)相反，因而“5”是公式(a+b)(ab)=a2b2中的a，而“2x2”則是公式中的b． 解：原式=(52x2)(5+2x2)=(5)2(2x2)2=254x4． 例2 計(jì)算(a2+4b)2 分析：運(yùn)用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時(shí)，“a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若將題目變形為(4ba2)2時(shí)，則“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略） （二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件 例3 計(jì)算(2x+yz+5)(2xy+z+5)． 分析：粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算，但注意觀察，兩個(gè)因式中的“2x”、“5”兩項(xiàng)同號(hào)，“y”、“z”兩項(xiàng)異號(hào)，因而，可運(yùn)用添括號(hào)的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式． 解：原式=〔(2x+5)+(yz)〕〔(2x+5)(yz)〕 =(2x+5)2(yz)2 =4x2+20x+25y+2yzz2． 例4 計(jì)算(a1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2 分析：若先用完全平方公式展開，運(yùn)算十分繁冗，但注意逆用冪的運(yùn)算法則，則可利用乘法公式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便． 解：原式=[(a1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2 =[(a31)(a6+a3+1)]2 =(a91)2=a182a9+1 例5 計(jì)算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)． 分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(xiàng)（21），則可運(yùn)用公式，使問題化繁為簡(jiǎn)． 解：原式=(21)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(221)(22+1)(24+1)(28+1) =(241)(24+1)(28+1) =（281）（28+1） =2161 ?。ㄈ⒆⒁夤降耐茝V計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加
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