羅默高級宏觀經(jīng)濟學(第3版)課后習題詳解(第4章真實經(jīng)濟周期理論)(編輯修改稿)
2025-04-21 07:19 本頁面
【文章內容簡介】 變量的變化指它的實際值與不存在沖擊時的值的差別。在期，不受影響。由（10）可知，由上期的資本存量和上期的決定。由生產(chǎn)函數(shù)可以推出：因此，在存在沖擊時產(chǎn)出高出。由（9）可知，消費的變化為：在存在沖擊時消費高出。在期，盡管再次為0，也不同于不存在沖擊時的情況，因為的一階自回歸過程，更精確的是：由（10）可知，資本存量的變化為：在上一期，產(chǎn)出上升，但消費僅上升，剩余的部分是由于投資或資本存量的增加。由生產(chǎn)函數(shù)可知，產(chǎn)出的變化為：由（9）可知，消費的變化為：因此，此處消費沒有進一步的動態(tài)變化，它仍然比未受沖擊影響時高出。同理，時期的變化為：假設有一期的沖擊為。在沖擊時，消費上升然后永久的保持在新水平上，不存在進一步的變化。除此以外，沖擊發(fā)生期后，產(chǎn)出的變化為：資本存量的變化為：和的動態(tài)性質依賴于。在特殊情況下，此時技術沖擊不存在持久性，期后沒有進一步的動態(tài)變化。在沖擊之后，資本高于1而產(chǎn)出高于。對于，沖擊發(fā)生后資本存量上升，接著它繼續(xù)上升直到到達新的長期水平上。產(chǎn)出在沖擊發(fā)生后上升（，接著它繼續(xù)下降直到到達新的長期水平上。對于，資本和產(chǎn)出震蕩，在它們的新的長期水平上不斷上下變化，最終穩(wěn)定在1和上。 一個具有偏好沖擊的簡化真實經(jīng)濟周期模型（布蘭查德和費希爾,1989，第361頁）。但是假設沒有技術擾動，且瞬時效用函數(shù)為。是均值為0、獨立同分布的沖擊。（a）求將和的期望聯(lián)系起來的一階條件（歐拉方程）。（b）假設消費具有以下形式：。根據(jù)這個假設，把表示為和的函數(shù)。（c）參數(shù)、和必須取何值才能使（a）部分中的一階條件對和的所有值都成立。（d）一次性的沖擊對、和的路徑有何影響？答：（a）假設代表性個人降低期的消費，他將增加的財富用于增加期的消費，這樣做的效用成本為：上步用到了瞬時效用函數(shù)來計算。通過上面的計算可以得出時期的預期效用，即：其中，表示實際利率。因為是白噪聲（white noise）序列，所以，因此上式可簡化為：預期效用=如果代表性個人是最優(yōu)化的，則效用成本等于效用收益，即：上式化簡得：已知，進一步化簡上式得： （1）（b）設定效用函數(shù)形式為： （2）將方程（2）和生產(chǎn)函數(shù)代入資本累積方程得出：化簡得： （3）（c）將方程（2）和帶有滯后項的方程（2）代入一階方程（1）中，可得：其中?；喩鲜?，可以得到： （4）將方程（3）代入方程（4），并且去掉期望值，這是由于是和的函數(shù)，而后兩者在期是已知的。得：化簡得： （5）為使（5）成立，需要使兩邊的、和常數(shù)項相等，即表示如下： （6） （7） （8）存在另一種約束：、和不受限制。第二種方法很煩瑣。不過，因為意味著消費不依賴于資本存量，這顯然是不現(xiàn)實的。因為消費依賴于產(chǎn)出，而產(chǎn)出依賴于資本。因此可以忽略這種情況。（d）將（6）（8）代入消費方程（2）和資本積累方程（3）得： （9） （10）不失一般性，假設直到期，此時出現(xiàn)一次性的正的沖擊。為保持分析的簡化，令，在期之后。在時刻，不受影響，它由上期的資本和儲蓄率決定。在生產(chǎn)函數(shù)中，不受影響，因為不受影響。由（9）可知，消費降低了。在期，由（10）知道，提高了。在產(chǎn)出保持不變的前提下，上期消費下降1，意味著儲蓄提高1，反過來表明資本存量增加1。通過生產(chǎn)函數(shù)，當提高了1時，產(chǎn)出提高了。最后，由于，而提高了1，必須提高，這一點由（9）可以看出。在期，這將沒有進一步的動態(tài)變化。保持在新的水平上，比上期提高了1。保持在新的更高水平上，比上一期提高了。也保持在新的更高水平上，比上一期高。如圖41所示。圖41 一次性的沖擊對、和的影響 。令、和表示、和的均衡增長路徑值。令為的值；為的值；為的值。（a）利用教材方程中（）－（）、（）和（），以及、和在均衡增長路徑上不變的事實，求關于這六個變量的六個方程（提示：（）中的為人均消費，為每單位有效勞動平均消費的均衡增長路徑值，這些事實意味著，在均衡增長路徑上，）。（b）。在均衡增長路徑上，消費和投資在產(chǎn)出中各占多少份額，資本與年產(chǎn)出之比是多少？答：（a）在索洛模型、拉姆齊模型和戴蒙德模型中，在沒有沖擊的均衡增長路徑上，、和的增長率為。除此之外，的增長率為，的增長率為，而的增長率為0。給定此處的對數(shù)結構，增長率意味著變量的對數(shù)變化，即的增長率為，意味著。在生產(chǎn)函數(shù)的兩邊同時除以得： （1）同理，將資本累積方程兩邊同時除以得：由于在均衡增長路徑上，因此，可以推出： （2）在實際工資方程的兩邊同時除以得到：定義在均衡增長路徑上，從而有： （3）在均衡增長路徑上利率為： （4）下面將教材中當前消費與當前勞動供給的權衡關系轉化到在均衡增長路徑上不存在沖擊時的表達式。注意在教材中的（）中。在均衡增長路徑上每單位有效勞動是，因為，因此有。在（）兩邊同除以，得到：由可以得到： （5）為了轉換教材中當前消費與未來消費之間的權衡關系，首先消除預期項，因為沒有沖擊時沒有不確定性。在方程兩邊同時乘以得：在均衡增長路徑上人均消費的增長率為，因此或者，可以得到： （6）方程（1）（6）分別含有6個變量：、和。（b）假設下面的幾個參數(shù)變量：，，和。以上數(shù)據(jù)為季度數(shù)據(jù)。由（4）可以得到在均衡增長路徑上每單位有效勞動的資本，將上面的數(shù)據(jù)代入，可得：即：。將值代入（1）中，得到在均衡增長路徑上每單位有效勞動的產(chǎn)出的季度值：由可推得：。在均衡增長路徑上政府購買占產(chǎn)出的比率為，由此可推得：，進而可推得：。由（2）可以解出在均衡增長路徑上每單位有效勞動的消費：將上述變量值代入的表達式，可得：運用和求解在均衡增長路徑上消費在產(chǎn)出中的份額，如下：因此消費在產(chǎn)出中的份額大約為53%。下面求投資在產(chǎn)出中的份額，即：因此投資在產(chǎn)出中的份額大約為27%。與美國的實際數(shù)據(jù)相比較，這里投資所占的比重較大，而消費所占的比重較小。最后在均衡增長路徑上資本與實際產(chǎn)出的比值為（年度數(shù)據(jù)）： 通過尋找社會最優(yōu)來求解一個真實經(jīng)濟周期模型。為簡單起見，假設。令值函數(shù)為代表性個人從當期開始的一生效用的期望現(xiàn)值，它是資本存量和技術的函數(shù)。（a）直觀地解釋為什么必須滿足：該條件被稱為貝爾曼（Bellman）方程。根據(jù)該模型的對數(shù)線性形式，猜測具有以下函數(shù)形式：，其中需要確定的值。將這個猜測的函數(shù)形式以及和代入貝爾曼方程，得：（b）求的一階條件。證明該條件意味著不依賴于和。（c）求的一階條件。利用這個條件以及（b）部分的結果，證明不依賴于和。（d）將生產(chǎn)函數(shù)以及（b）、（c）有關最優(yōu)和最優(yōu)的結果代入上面的方程，證明所得表達式的形式為（e）和應為何值才能使和？（f）和所隱含的值是多少？？答：這里的RBC模型沒有政府購買并且折舊率為100%，給定下面的公式：在該模型中，簡單地假定，調整上面的公式：由可得出，人口為： （5′）將人口正規(guī)化為1，因此每人的勞動供給將與總的勞動供給一致，因此新生產(chǎn)函
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