【文章內(nèi)容簡介】 價值。因此，更多的資源將被投入到知識的生產(chǎn)部門，從而均衡增長路徑將更高。（b）由（1）可知： （3）化簡（3）可得： （4）因此，的符號可以由來決定，如果、和為正，則為正。的增加表示在知識生產(chǎn)部門勞動生產(chǎn)率的提高。因此，在知識生產(chǎn)部門工資開始上升。知識生產(chǎn)部門將吸引更多的工人，直到工資再次等于產(chǎn)品生產(chǎn)部門。（c）由（1）可知： （5）化簡（5），可得： （6）因此，的符號可以由來決定。如果、和為正，則為正?？偟膭趧訑?shù)量的增加將導致在知識生產(chǎn)部門的勞動數(shù)量的增加。（12）和（14）可知，在初始的上，的增加將導致知識生產(chǎn)部門工資的提高和產(chǎn)品生產(chǎn)部門工資的降低。這會引起勞動從產(chǎn)品生產(chǎn)部門流向知識生產(chǎn)部門，一直上升到兩部門的工資相等為止。 干中學。假設產(chǎn)出由教材中方程（），給定；為常數(shù)且等于1；；知識積累是產(chǎn)品生產(chǎn)的一個副產(chǎn)品：。（a）用、和各參數(shù)來表示和。（b）在空間中畫出線和線。（c）該經(jīng)濟是否會收斂到一條均衡增長路徑？如果是，均衡增長路徑上、和的增長率是多少？（d）的增加如何影響長期增長？答：（a）相關的方程為： （1） （2） （3）將方程（1）代入（2）得，在該式兩邊除以，可以得到資本的增長率，即： （4）將（1）代入（3）得：在該式兩邊除以，可以得到知識的增長率，即： （5）（b）對方程（4）兩邊取對數(shù)，產(chǎn)生資本的增長率的增長率為：即： （6）從（6）可知，當時，將是常數(shù)。因此，在空間中與45176。線重合。如果，將上升，即位于線之下；如果，則將下降，則會位于之上。如圖311所示。圖311 曲線（5）兩邊取對數(shù)，可以求出知識的增長率的增長率：上式簡化為： （7）由（7）式可知，如果，則將保持不變，即將在空間中位于45176。線上；如果，則將上升，從而位于線之上；如果，則將下降，從而位于線之下，如圖312所示。圖312（c）將和置于一個圖313上。盡管在的情況下可以推出經(jīng)濟將以一不變的速度增長，仍然沒有足夠的信息可以斷定唯一的均衡增長路徑。如圖313所示。圖313 時的和曲線由上面的分析，已知：在任何情況下，資本和知識的增長率都是聯(lián)系在一起的，因為它們都依賴于資本對知識的比率。由（5）可推出：或簡化為： （8）將（8）代入（4）得： （9）和必須位于某一點上以滿足方程（9），在圖314中標為線。不論的初始比率如何，經(jīng)濟將從線上的某一點開始，最后移動到點。因此，經(jīng)濟將收斂到唯一的均衡增長路徑上的點。圖314 經(jīng)濟收斂于點為計算在均衡增長路徑上資本和知識的增長率，在點，與相交，此時。令代表共同的增長率，由（9）可知：簡化為： （10）對方程（1）兩邊取對數(shù)并求導數(shù)，可以得出實際產(chǎn)出的增長率：在均衡增長路徑上，代入上式，可得： （11）因此，在均衡增長路徑上，資本、知識和產(chǎn)出的增長率均為。（d）由（10）可知，儲蓄率的提高，會使長期的資本、知識和產(chǎn)出的增長率提高。由（6）和（7）可知，隨著儲蓄率的變化，和曲線都不會發(fā)生變化。由（4）可知，的增加會使向上跳動。由（9）可知，曲線會移動。因此，隨著的增加，經(jīng)濟將從原先的均衡增長路徑上的點移動到點，接著經(jīng)濟沿著線向新的穩(wěn)定點移動，如圖315所示。圖315 經(jīng)濟沿線向新穩(wěn)定點移動 假設廠商的產(chǎn)出由給定，其中和是廠商使用的資本量和勞動量；和是總的資本量和勞動量；。假設各要素報酬為其私人邊際產(chǎn)品，因而。假設和的動態(tài)學分別由和給定，所有廠商的都相同。（a）作為的函數(shù)的是多少？（b）均衡增長路徑上的是多少？均衡增長路徑上的是多少？（c）“如果國內(nèi)儲蓄的增加會提高國內(nèi)投資，那么資本的正的外部性將緩和資本的私人邊際產(chǎn)品的下降。因此，對于第一章描述的費爾德斯汀與胡瑞卡關于儲蓄和投資的結論來說，資本的正的外部性和對資本流動的不大的障礙二者的結合可能是其原因?！保╝）部分和（b）部分中的分析是否支持這一論斷？請進行直觀的解釋。答：（a）對廠商的產(chǎn)出函數(shù)關于求偏導數(shù)，可得： （1）在均衡時，資本—勞動比率在各廠商之間是相等的。因此，將它代入（1）中，得到資本的私人邊際產(chǎn)品，即： （2）（b）由于在各廠商之間是相等的并且生產(chǎn)函數(shù)有不變的回報率，因此總生產(chǎn)函數(shù)為，進一步簡化為： （3）令和，并在方程（3）兩邊同除以，得：則單位勞動的產(chǎn)出量為： （4）在兩邊取導數(shù)，即： （5）將資本積累方程，勞動增長率，即代入（5）中，可得： （6）將（4）式，即每單位勞動產(chǎn)量公式，代入（6），可得： （7）經(jīng)濟將收斂于下面的情況：每工人實際投資等于持平投資，即在均衡增長路徑上，每工人的資本是不變的。因此，進而可由方程（7）推出下式：簡化為： （8）將（8）代入（2）得：因此，在均衡增長路徑上，資本的邊際產(chǎn)品為： （9）（c）以上的分析不支持這一結論，并不影響穩(wěn)態(tài)的資本的私人邊際產(chǎn)品價值。另外，并不影響隨著儲蓄率的變化變化的方式。由（9）式可以得到，而并不依賴值。因此，資本正的外部性并不會緩和由于儲蓄增加引起的資本的邊際產(chǎn)品下降的趨勢。原因在于，值越高，對于資本—勞動比率的變化的反應越小，如（2）所示；不過，值越高，意味著資本—勞動比率會對儲蓄率的變化做出更大的反應，如（8）所示。因此，效果互相抵消。 （瑞貝羅，1991）假設有兩種生產(chǎn)要素：資本和土地。資本被用于兩個部門，而土地只被用于生產(chǎn)消費品。具體來說，生產(chǎn)函數(shù)是和，其中和是兩個部門分別使用的資本量（因而），是土地的數(shù)量。要素報酬是其邊際產(chǎn)品，資本可以在兩個部門間自由流動。為簡單起見，被標準化為1。（a）令表示時資本品對消費品的相對價格。在兩個部門中，用消費品單位表示的資本收入必定相等，利用這一事實推導一個將、和參數(shù)和聯(lián)系起來的條件。如果以速度增長，則的增長（或下降）率是多少？令表示該增長率。（b）用消費品表示的真實利率是。因此，若假設家庭具有標準效用函數(shù)，，則消費的增長率必定為。假設。（1）利用（a）部分的結果，用而非來表示。（2）根據(jù)消費品的生產(chǎn)函數(shù)，要使以速度增長，則的增長率是多少？（3）將（1）部分和（2）部分的結果結合起來，求用各參數(shù)表示的和。（c）假設投資收入的稅率是，因而家庭面臨的真實利率是。如何影響消費的均衡增長率。答：（a）將土地正規(guī)化為1后，生產(chǎn)函數(shù)為： （1） （2）在資本生產(chǎn)部門額外雇傭一單位資本的報酬是：，等于單位的消費品。在消費品生產(chǎn)部門額外雇傭一單位資本的報酬是：。聯(lián)立兩個結果（即在兩個部門額外雇傭一單位資本的報酬），可得： （3）對方程（3）兩邊取對數(shù)并求導，得到資本品相對于消費品價格的增長率，即：上步用到了和是常數(shù)的假定。因為的增長率為，并定義的增長率為，可以得到： （4）（b）（1）消費增長率為： （5）上步是用方程（4）式來代替得到的。對消費生產(chǎn)函數(shù)兩邊取對數(shù)并求導，可以得到： （6）（2）將關于消費的增長率的方程（5）和（6）聯(lián)立，可得：求出的增長率為： （7）（3）上面已經(jīng)用參數(shù)求解，下面求。將方程（7）代入（6）得： （8）（c）實際利率為：，代入方程（5），可得： （9）上步使用了（4）去替代，聯(lián)立消費的增長率方程（6）和（9），得到：求解上式，得到： （10）將（10）代入（6）中，得到潛在參數(shù)的函數(shù)，消費的增長率為： （11）為得到稅收的效果，求關于的導數(shù)，如下：因此，稅率的增加會引起消費的增長率下降。 （克魯格曼，1979；格羅斯曼和赫爾普曼，1991b）假設世界包括兩個地區(qū)：“北方”和“南方”。地區(qū)的資本積累由和給定。新技術在北方開發(fā)。具體來說。另一方面，南方的技術改進是通過學習北方技術而得到的：，前提是；否則的話。在這里，是北方勞動力中從事研發(fā)的比例，是南方勞動力中從事學習北方技術的比例，其余符號是標準符號。注意和被假設為不變。（a）北方每個工人平均產(chǎn)出的長期增長率是多少？（b）定義。將表示為和模型參數(shù)的函數(shù)。是否穩(wěn)定？如果是，它收斂于什么值？南方每工人平均產(chǎn)出的長期增長率是多少？（c）假設和。當兩地經(jīng)濟收斂于其均衡增長路徑時，南方每個工人平均產(chǎn)出與北方每個工人平均產(chǎn)出的比率是多少？答：（a）由于北方的經(jīng)濟模型是索洛模型，其中技術進步率為：。根據(jù)索洛模型的分析，可以知道北方每個工人平均產(chǎn)出的長期增長率是技術進步率，即。（b）在兩邊求導數(shù)，可得： （1）將和代入（1）中，如下：上式化簡得： （2）將代入（2）得：合并同類項得： （3）方程（3）的相圖見圖316。圖316 的相圖注意，方程（3）和相圖并不適用于的情況，因為當時。與是線形關系，斜率為。由相圖可知，如果，則。因此，如果開始在的左邊，它會隨時間上升到。同理，如果，則，如果開始在的右邊，它會隨時間下降到。因此，作為南方的技術對北方的技術的比率，會收斂到一個穩(wěn)定值。為求解，令，即：求解，可得：