【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 價(jià)值。因此，更多的資源將被投入到知識(shí)的生產(chǎn)部門，從而均衡增長(zhǎng)路徑將更高。（b）由（1）可知： （3）化簡(jiǎn)（3）可得： （4）因此，的符號(hào)可以由來決定，如果、和為正，則為正。的增加表示在知識(shí)生產(chǎn)部門勞動(dòng)生產(chǎn)率的提高。因此，在知識(shí)生產(chǎn)部門工資開始上升。知識(shí)生產(chǎn)部門將吸引更多的工人，直到工資再次等于產(chǎn)品生產(chǎn)部門。（c）由（1）可知： （5）化簡(jiǎn)（5），可得： （6）因此，的符號(hào)可以由來決定。如果、和為正，則為正?？偟膭趧?dòng)數(shù)量的增加將導(dǎo)致在知識(shí)生產(chǎn)部門的勞動(dòng)數(shù)量的增加。（12）和（14）可知，在初始的上，的增加將導(dǎo)致知識(shí)生產(chǎn)部門工資的提高和產(chǎn)品生產(chǎn)部門工資的降低。這會(huì)引起勞動(dòng)從產(chǎn)品生產(chǎn)部門流向知識(shí)生產(chǎn)部門，一直上升到兩部門的工資相等為止。 干中學(xué)。假設(shè)產(chǎn)出由教材中方程（），給定；為常數(shù)且等于1；；知識(shí)積累是產(chǎn)品生產(chǎn)的一個(gè)副產(chǎn)品：。（a）用、和各參數(shù)來表示和。（b）在空間中畫出線和線。（c）該經(jīng)濟(jì)是否會(huì)收斂到一條均衡增長(zhǎng)路徑？如果是，均衡增長(zhǎng)路徑上、和的增長(zhǎng)率是多少？（d）的增加如何影響長(zhǎng)期增長(zhǎng)？答：（a）相關(guān)的方程為： （1） （2） （3）將方程（1）代入（2）得，在該式兩邊除以，可以得到資本的增長(zhǎng)率，即： （4）將（1）代入（3）得：在該式兩邊除以，可以得到知識(shí)的增長(zhǎng)率，即： （5）（b）對(duì)方程（4）兩邊取對(duì)數(shù)，產(chǎn)生資本的增長(zhǎng)率的增長(zhǎng)率為：即： （6）從（6）可知，當(dāng)時(shí)，將是常數(shù)。因此，在空間中與45176。線重合。如果，將上升，即位于線之下；如果，則將下降，則會(huì)位于之上。如圖311所示。圖311 曲線（5）兩邊取對(duì)數(shù)，可以求出知識(shí)的增長(zhǎng)率的增長(zhǎng)率：上式簡(jiǎn)化為： （7）由（7）式可知，如果，則將保持不變，即將在空間中位于45176。線上；如果，則將上升，從而位于線之上；如果，則將下降，從而位于線之下，如圖312所示。圖312（c）將和置于一個(gè)圖313上。盡管在的情況下可以推出經(jīng)濟(jì)將以一不變的速度增長(zhǎng)，仍然沒有足夠的信息可以斷定唯一的均衡增長(zhǎng)路徑。如圖313所示。圖313 時(shí)的和曲線由上面的分析，已知：在任何情況下，資本和知識(shí)的增長(zhǎng)率都是聯(lián)系在一起的，因?yàn)樗鼈兌家蕾囉谫Y本對(duì)知識(shí)的比率。由（5）可推出：或簡(jiǎn)化為： （8）將（8）代入（4）得： （9）和必須位于某一點(diǎn)上以滿足方程（9），在圖314中標(biāo)為線。不論的初始比率如何，經(jīng)濟(jì)將從線上的某一點(diǎn)開始，最后移動(dòng)到點(diǎn)。因此，經(jīng)濟(jì)將收斂到唯一的均衡增長(zhǎng)路徑上的點(diǎn)。圖314 經(jīng)濟(jì)收斂于點(diǎn)為計(jì)算在均衡增長(zhǎng)路徑上資本和知識(shí)的增長(zhǎng)率，在點(diǎn)，與相交，此時(shí)。令代表共同的增長(zhǎng)率，由（9）可知：簡(jiǎn)化為： （10）對(duì)方程（1）兩邊取對(duì)數(shù)并求導(dǎo)數(shù)，可以得出實(shí)際產(chǎn)出的增長(zhǎng)率：在均衡增長(zhǎng)路徑上，代入上式，可得： （11）因此，在均衡增長(zhǎng)路徑上，資本、知識(shí)和產(chǎn)出的增長(zhǎng)率均為。（d）由（10）可知，儲(chǔ)蓄率的提高，會(huì)使長(zhǎng)期的資本、知識(shí)和產(chǎn)出的增長(zhǎng)率提高。由（6）和（7）可知，隨著儲(chǔ)蓄率的變化，和曲線都不會(huì)發(fā)生變化。由（4）可知，的增加會(huì)使向上跳動(dòng)。由（9）可知，曲線會(huì)移動(dòng)。因此，隨著的增加，經(jīng)濟(jì)將從原先的均衡增長(zhǎng)路徑上的點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，接著經(jīng)濟(jì)沿著線向新的穩(wěn)定點(diǎn)移動(dòng)，如圖315所示。圖315 經(jīng)濟(jì)沿線向新穩(wěn)定點(diǎn)移動(dòng) 假設(shè)廠商的產(chǎn)出由給定，其中和是廠商使用的資本量和勞動(dòng)量；和是總的資本量和勞動(dòng)量；。假設(shè)各要素報(bào)酬為其私人邊際產(chǎn)品，因而。假設(shè)和的動(dòng)態(tài)學(xué)分別由和給定，所有廠商的都相同。（a）作為的函數(shù)的是多少？（b）均衡增長(zhǎng)路徑上的是多少？均衡增長(zhǎng)路徑上的是多少？（c）“如果國(guó)內(nèi)儲(chǔ)蓄的增加會(huì)提高國(guó)內(nèi)投資，那么資本的正的外部性將緩和資本的私人邊際產(chǎn)品的下降。因此，對(duì)于第一章描述的費(fèi)爾德斯汀與胡瑞卡關(guān)于儲(chǔ)蓄和投資的結(jié)論來說，資本的正的外部性和對(duì)資本流動(dòng)的不大的障礙二者的結(jié)合可能是其原因?！保╝）部分和（b）部分中的分析是否支持這一論斷？請(qǐng)進(jìn)行直觀的解釋。答：（a）對(duì)廠商的產(chǎn)出函數(shù)關(guān)于求偏導(dǎo)數(shù)，可得： （1）在均衡時(shí)，資本—?jiǎng)趧?dòng)比率在各廠商之間是相等的。因此，將它代入（1）中，得到資本的私人邊際產(chǎn)品，即： （2）（b）由于在各廠商之間是相等的并且生產(chǎn)函數(shù)有不變的回報(bào)率，因此總生產(chǎn)函數(shù)為，進(jìn)一步簡(jiǎn)化為： （3）令和，并在方程（3）兩邊同除以，得：則單位勞動(dòng)的產(chǎn)出量為： （4）在兩邊取導(dǎo)數(shù)，即： （5）將資本積累方程，勞動(dòng)增長(zhǎng)率，即代入（5）中，可得： （6）將（4）式，即每單位勞動(dòng)產(chǎn)量公式，代入（6），可得： （7）經(jīng)濟(jì)將收斂于下面的情況：每工人實(shí)際投資等于持平投資，即在均衡增長(zhǎng)路徑上，每工人的資本是不變的。因此，進(jìn)而可由方程（7）推出下式：簡(jiǎn)化為： （8）將（8）代入（2）得：因此，在均衡增長(zhǎng)路徑上，資本的邊際產(chǎn)品為： （9）（c）以上的分析不支持這一結(jié)論，并不影響穩(wěn)態(tài)的資本的私人邊際產(chǎn)品價(jià)值。另外，并不影響隨著儲(chǔ)蓄率的變化變化的方式。由（9）式可以得到，而并不依賴值。因此，資本正的外部性并不會(huì)緩和由于儲(chǔ)蓄增加引起的資本的邊際產(chǎn)品下降的趨勢(shì)。原因在于，值越高，對(duì)于資本—?jiǎng)趧?dòng)比率的變化的反應(yīng)越小，如（2）所示；不過，值越高，意味著資本—?jiǎng)趧?dòng)比率會(huì)對(duì)儲(chǔ)蓄率的變化做出更大的反應(yīng)，如（8）所示。因此，效果互相抵消。 （瑞貝羅，1991）假設(shè)有兩種生產(chǎn)要素：資本和土地。資本被用于兩個(gè)部門，而土地只被用于生產(chǎn)消費(fèi)品。具體來說，生產(chǎn)函數(shù)是和，其中和是兩個(gè)部門分別使用的資本量（因而），是土地的數(shù)量。要素報(bào)酬是其邊際產(chǎn)品，資本可以在兩個(gè)部門間自由流動(dòng)。為簡(jiǎn)單起見，被標(biāo)準(zhǔn)化為1。（a）令表示時(shí)資本品對(duì)消費(fèi)品的相對(duì)價(jià)格。在兩個(gè)部門中，用消費(fèi)品單位表示的資本收入必定相等，利用這一事實(shí)推導(dǎo)一個(gè)將、和參數(shù)和聯(lián)系起來的條件。如果以速度增長(zhǎng)，則的增長(zhǎng)（或下降）率是多少？令表示該增長(zhǎng)率。（b）用消費(fèi)品表示的真實(shí)利率是。因此，若假設(shè)家庭具有標(biāo)準(zhǔn)效用函數(shù)，，則消費(fèi)的增長(zhǎng)率必定為。假設(shè)。（1）利用（a）部分的結(jié)果，用而非來表示。（2）根據(jù)消費(fèi)品的生產(chǎn)函數(shù)，要使以速度增長(zhǎng)，則的增長(zhǎng)率是多少？（3）將（1）部分和（2）部分的結(jié)果結(jié)合起來，求用各參數(shù)表示的和。（c）假設(shè)投資收入的稅率是，因而家庭面臨的真實(shí)利率是。如何影響消費(fèi)的均衡增長(zhǎng)率。答：（a）將土地正規(guī)化為1后，生產(chǎn)函數(shù)為： （1） （2）在資本生產(chǎn)部門額外雇傭一單位資本的報(bào)酬是：，等于單位的消費(fèi)品。在消費(fèi)品生產(chǎn)部門額外雇傭一單位資本的報(bào)酬是：。聯(lián)立兩個(gè)結(jié)果（即在兩個(gè)部門額外雇傭一單位資本的報(bào)酬），可得： （3）對(duì)方程（3）兩邊取對(duì)數(shù)并求導(dǎo)，得到資本品相對(duì)于消費(fèi)品價(jià)格的增長(zhǎng)率，即：上步用到了和是常數(shù)的假定。因?yàn)榈脑鲩L(zhǎng)率為，并定義的增長(zhǎng)率為，可以得到： （4）（b）（1）消費(fèi)增長(zhǎng)率為： （5）上步是用方程（4）式來代替得到的。對(duì)消費(fèi)生產(chǎn)函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)并求導(dǎo)，可以得到： （6）（2）將關(guān)于消費(fèi)的增長(zhǎng)率的方程（5）和（6）聯(lián)立，可得：求出的增長(zhǎng)率為： （7）（3）上面已經(jīng)用參數(shù)求解，下面求。將方程（7）代入（6）得： （8）（c）實(shí)際利率為：，代入方程（5），可得： （9）上步使用了（4）去替代，聯(lián)立消費(fèi)的增長(zhǎng)率方程（6）和（9），得到：求解上式，得到： （10）將（10）代入（6）中，得到潛在參數(shù)的函數(shù)，消費(fèi)的增長(zhǎng)率為： （11）為得到稅收的效果，求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，如下：因此，稅率的增加會(huì)引起消費(fèi)的增長(zhǎng)率下降。 （克魯格曼，1979；格羅斯曼和赫爾普曼，1991b）假設(shè)世界包括兩個(gè)地區(qū)：“北方”和“南方”。地區(qū)的資本積累由和給定。新技術(shù)在北方開發(fā)。具體來說。另一方面，南方的技術(shù)改進(jìn)是通過學(xué)習(xí)北方技術(shù)而得到的：，前提是；否則的話。在這里，是北方勞動(dòng)力中從事研發(fā)的比例，是南方勞動(dòng)力中從事學(xué)習(xí)北方技術(shù)的比例，其余符號(hào)是標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)。注意和被假設(shè)為不變。（a）北方每個(gè)工人平均產(chǎn)出的長(zhǎng)期增長(zhǎng)率是多少？（b）定義。將表示為和模型參數(shù)的函數(shù)。是否穩(wěn)定？如果是，它收斂于什么值？南方每工人平均產(chǎn)出的長(zhǎng)期增長(zhǎng)率是多少？（c）假設(shè)和。當(dāng)兩地經(jīng)濟(jì)收斂于其均衡增長(zhǎng)路徑時(shí)，南方每個(gè)工人平均產(chǎn)出與北方每個(gè)工人平均產(chǎn)出的比率是多少？答：（a）由于北方的經(jīng)濟(jì)模型是索洛模型，其中技術(shù)進(jìn)步率為：。根據(jù)索洛模型的分析，可以知道北方每個(gè)工人平均產(chǎn)出的長(zhǎng)期增長(zhǎng)率是技術(shù)進(jìn)步率，即。（b）在兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得： （1）將和代入（1）中，如下：上式化簡(jiǎn)得： （2）將代入（2）得：合并同類項(xiàng)得： （3）方程（3）的相圖見圖316。圖316 的相圖注意，方程（3）和相圖并不適用于的情況，因?yàn)楫?dāng)時(shí)。與是線形關(guān)系，斜率為。由相圖可知，如果，則。因此，如果開始在的左邊，它會(huì)隨時(shí)間上升到。同理，如果，則，如果開始在的右邊，它會(huì)隨時(shí)間下降到。因此，作為南方的技術(shù)對(duì)北方的技術(shù)的比率，會(huì)收斂到一個(gè)穩(wěn)定值。為求解，令，即：求解，可得：