【文章內(nèi)容簡介】 ..................................85第一節(jié) 基本概念 ..........................................................................................................................85概念網(wǎng)絡(luò)圖 ............................................................................................................................85重要公式和結(jié)論 ....................................................................................................................85第二節(jié) 重點(diǎn)考核點(diǎn) ......................................................................................................................86第三節(jié) 常見題型 ..........................................................................................................................87單正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn) ....................................................................................87兩類錯(cuò)誤 ................................................................................................................................87第四節(jié) 歷年真題 ..........................................................................................................................88數(shù)學(xué)一： ......................................................................................................................................88數(shù)學(xué)三： ......................................................................................................................................88考研數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)（強(qiáng)化班）例題答案 .........................................................................89考研數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)（強(qiáng)化班）歷年真題答案 ..................................................................97第一章 隨機(jī)事件和概率第一節(jié) 基本概念概念網(wǎng)絡(luò)圖 ???????????????????????公/)(獨(dú) 立 性全 概 公 式和 乘 法 公 式條 件 概 率 減 法加 法五 大 公 式 幾 何 概 型古 典 概 型隨 機(jī) 事 件樣 本 空 間基 本 事 件隨 機(jī) 試 驗(yàn) BCBAPE?重要公式和結(jié)論（1）排列組合公式 從 m 個(gè)人中挑出 n 個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。)!(nPnm?? 從 m 個(gè)人中挑出 n 個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。C（2）加法和乘法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由 m 種方法完成，第二種方法可由n 種方法來完成，則這件事可由 m+n 種方法來完成。乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：mn某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由 m 種方法完成，第二個(gè)步驟可由n 種方法來完成，則這件事可由 mn 種方法來完成。（3）一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對(duì)立事件（至少有一個(gè)）順序問題（4）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。（5）基本事件、樣本空間和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用 來表示。?基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用 表示。?一個(gè)事件就是由 中的部分點(diǎn)（基本事件 ）組成的集合。通常用大寫字母?A， B， C， …表示事件，它們是 的子集。為必然事件，216。 為不可能事件。不可能事件（216。）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為 1，而概率為 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算①關(guān)系：如果事件 A 的組成部分也是事件 B 的組成部分， （ A 發(fā)生必有事件 B 發(fā)生）：B?如果同時(shí)有 ， ，則稱事件 A 與事件 B 等價(jià)，或稱 A 等于?B： A=B。A、 B 中至少有一個(gè)發(fā)生的事件： A B，或者 A+B。?屬于 A 而不屬于 B 的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A 與 B 的差，記為 AB，也可表示為 AAB 或者 ，它表示 A 發(fā)生而 B 不發(fā)生的事件。A、 B 同時(shí)發(fā)生： A?B，或者 AB。A B=216。，則表示 A 與 B 不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件 A 與事件 B 互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸摹?A 稱為事件 A 的逆事件，或稱 A 的對(duì)立事件，記為 。它表示 A 不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。②運(yùn)算： 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率：???1iiA ，B?BA??（7）概率的公理化定義設(shè) ?為樣本空間， 為事件，對(duì)每一個(gè)事件 都有一個(gè)實(shí)數(shù) P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1176。 0≤P(A)≤1， 2176。 P(Ω) =13176。 對(duì)于兩兩互不相容的事件 1A， 2，…有??????????11)(iiiP常稱為可列（完全）可加性。則稱 P(A)為事件 的概率。（8）古典概型1176。 ，??n??21,??2176。 。PPn)()()?設(shè)任一事件 A，它是由 組成的，則有m?21,P(A)= =21?? )()(21mP???nm?基 本 事 件 總 數(shù)所 包 含 的 基 本 事 件 數(shù)（9）幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件 A。其中 L 為幾何度量（長度、面積、體積） 。)(??AP（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)當(dāng) P(AB)＝0 時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）減法公式P(AB)=P(A)P(AB)當(dāng) B A 時(shí)，P(AB)=P(A)P(B)?當(dāng) A=Ω 時(shí)，P( )=1 P(B)（12）條件概率定義 設(shè) A、B 是兩個(gè)事件，且 P(A)0，則稱 為事件 A 發(fā)生條件下，)(PB事件 B 發(fā)生的條件概率，記為 。?)/(A條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P(Ω/B)=1 P( /A)=1P(B/A)?（13）乘法公式乘法公式： )/()(BPA?更一般地，對(duì)事件 A1，A 2，…A n，若 P(A1A2…An1)0，則有21P… n )|(|32…… 21|(APn…)?n。（14）獨(dú)立性①兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件 、 B滿足 )()(BP?，則稱事件 、 B是相互獨(dú)立的。若事件 A、 相互獨(dú)立，且 0?A，則有 )()()(|(P?若事件 、 B相互獨(dú)立，則可得到 與 B、 與 、 A與 B也都相互獨(dú)立。必然事件 ?和不可能事件 216。 與任何事件都相互獨(dú)立。216。 與任何事件都互斥。②多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè) ABC 是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互獨(dú)立。對(duì)于 n 個(gè)事件類似。（15）全概公式設(shè)事件 n,21? 滿足1176。 ? 兩兩互不相容， ),21(0)niBPi???，2176。?ni1??，則有 )|())|()|()( 221 nnBAPAAPB???。（16）貝葉斯公式設(shè)事件 1， 2，…， n及 滿足1176。 ， ，…， 兩兩互不相容， (i0， ?1，2，…， ，2176。 ni1??， 0)(?，則，i=1，2，…n。??nj jjiii BAPABP1)/())/(此公式即為貝葉斯公式。， （ i， 2，…， ） ，通常叫先驗(yàn)概率。)(i， （ ， ，…， n） ，通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了/“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。（17）伯努利概型我們作了 n次試驗(yàn)，且滿足? 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果， A發(fā)生或 不發(fā)生；? 次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即 發(fā)生的概率每次均一樣；? 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn) 發(fā)生與否與其他次試驗(yàn) A發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為 n重伯努利試驗(yàn)。用 p表示每次試驗(yàn) A發(fā)生的概率，則 發(fā)生的概率為 qp??1，用)(kPn表示 重伯努利試驗(yàn)中 出現(xiàn) )0(k?次的概率，knkqC??， ,21??。例 1．1：有 5 個(gè)隊(duì)伍參加了甲 A 聯(lián)賽，兩兩之間進(jìn)行循環(huán)賽兩場，沒有平局，試問總共輸?shù)膱龃问嵌嗌?？?1．2：到美利堅(jiān)去，既可以乘飛機(jī)，也可以坐輪船，其中飛機(jī)有戰(zhàn)斗機(jī)和民航，輪船有小鷹號(hào)和 Titanic 號(hào)，問有多少種走法？例 1．3：到美利堅(jiān)去，先乘飛機(jī)，后坐輪船，其中飛機(jī)有戰(zhàn)斗機(jī)和民航，輪船有小鷹號(hào)和Titanic 號(hào)，問有多少種走法？例 1．4：10 人中有 6 人是男性，問組成 4 人組，三男一女的組合數(shù)。例 1．5：兩線段 MN 和 PQ 不相交，線段 MN 上有 6 個(gè)點(diǎn) A1，A 2…，A 6，線段 PQ 上有 7 個(gè)點(diǎn)B1，B 2，…，B 7。若將每一個(gè) Ai和每一個(gè) Bj連成不作延長的線段AiBj(i=1,2,…6。j=1,2,…,7),則由這些線段 A iBj相交而得到的交點(diǎn)（不包括A1…，A 6，B 1…，B 713 個(gè)點(diǎn)）最多有A． 315 個(gè) B． 316 個(gè) C． 317 個(gè) D． 318 個(gè)例 1．6：3 封不同的信，有 4 個(gè)信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？例 1．7：某市共有 10000 輛自行車，其牌照號(hào)碼從 00001 到 10000，求有數(shù)字 8 的牌照號(hào)碼的個(gè)數(shù)。例 1．8：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，至少一白的種數(shù)？（有序） 151??C211251???C例 1．9：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，至少一白的種數(shù)？（有序） 14 812145例 1．10：3 白球，2 黑球，任取 2 球，至少一白的種數(shù)？（無序） 14??C95??C例 1．11：化簡 (A+B)(A+ )( +B)BA例 1．12： 成立的充分條件為：)()(CBA??(1)C (2) C?例 1．13：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，至少一白的概率？例 1．14：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，至少一白的概率？例 1．15：3 白球，2 黑球，任取 2 球，至少一白的概率？例 1．16：袋中裝有 α 個(gè)白球及 β 個(gè)黑球。①從袋中任取 a+b 個(gè)球，試求其中含 a 個(gè)白球，b 個(gè)黑球的概率（a≤α，b≤β） 。②從袋中任意地接連取出 k+1（k+1≤α+β）個(gè)球，如果取出后不放回，試求最后取出的是白球的概率。③上兩題改成“放回” 。例 1．17：從 6 雙不同的手套中任取 4 只，求其中恰有一雙配對(duì)的概率。例 1．18：有 5 個(gè)白色珠子和 4 個(gè)黑色珠子，從中任取 3 個(gè)，問其中至少有 1 個(gè)是黑色的概率？例 1．19：設(shè) O 為正方形 ABCD[坐標(biāo)為（1，1） ， （1，1） ， （1，1） ， （1，1）]中的一點(diǎn)，求其落在 x2+y2≤1 的概率。例 1．20：某市共有 10000 輛自行車，其牌照號(hào)碼從 00001 到 10000，求偶然遇到的一輛自行車，其牌照號(hào)碼中有數(shù)字 8 的概率。例 1．