巧用直線的參數(shù)方程解題方法(編輯修改稿)
2025-04-21 01:05 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∴該直線的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)） 把參數(shù)方程代入拋物線方程，整理后得 因為t是實數(shù)，所以Δ= 由公式二，有 解得 評注：我們通過運用直線的參數(shù)方程得到了公式一和公式二，在 解決關(guān)于弦長問題時運用公式一或者公式二解題就會更加 方便。如果題目已知的是直線的傾斜角，就應(yīng)該考慮用公 式一；如果題目已知的是直線的斜率，就應(yīng)該先考慮用公 式二。 運用直線的參數(shù)方程解中點問題 例3 已知經(jīng)過點，斜率為的直線和拋物線相交于A,B兩點，若AB的中點為M，求點M坐標。 解：設(shè)過點的傾斜角為，則， 則， 可設(shè)直線的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）把參數(shù)方程代入拋物線方程中，整理后得 設(shè)為方程的兩個實根，即為A,B兩點的對應(yīng)參數(shù)，根據(jù)韋達定理 由M為線段AB的中點，根據(jù)的幾何意義可得 所以中點M所對應(yīng)的參數(shù)為,將此值代入直線的參數(shù)方程里，得 M的坐標為 即 評注：在直線的參數(shù)方程中，當時，則的方向向上；當 時，則的方向向下，所以AB中點M對應(yīng)的參數(shù)t的值是， 這與求兩點之間的中點坐標有點相似。 運用直線的參數(shù)方程求軌跡方程 運用直線的參數(shù)方程，我們根據(jù)參數(shù)t的幾何意義得出某些線段的數(shù)量關(guān)系，然后建立相關(guān)等式，最后可得出某動點的軌跡。 例4 過原點的一條直線，交圓于點,在直線上取一 點,使到直線的距離等于,求當這條直線繞原點旋轉(zhuǎn)時點 的軌跡。 解：設(shè)該直線的方程為 ，t為參數(shù)，為直線的傾斜角把直線方程代入圓方程，得 即 根據(jù)公式一，可得 ， 可設(shè)點坐標為，起對應(yīng)的參數(shù)值為t，則有， 因為,所以易知，點到直線的距離是，即。 由題意有 = 等式兩邊同時平方，化簡后得 解得 或 當時，軌跡的一支為； 當時，從而得另一支軌跡 即；因此所求軌跡系是由圓和直線組成。評注：遇到此類題目，考慮運用直線的參數(shù)方程先把弦長求出來， 在根據(jù)題意建立相關(guān)等式，根據(jù)等式消元化簡得出結(jié)果，本 題的關(guān)鍵主要是建立等式=。 運用
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