參數(shù)方程化普通方程(編輯修改稿)
2025-07-16 17:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 0，b≠0；a≠0，b=0；a=0，b=0三種情況，應(yīng)逐一進(jìn)行討論． 【正確】 當(dāng)ab≠0時(shí)，如上解有 當(dāng)ab=0時(shí)，有下列三種情形： ?。?）a=0，b≠0時(shí)，原方程為此時(shí)，曲線為y軸（含原點(diǎn)）． ?。?）a≠0，b=0，原方程為 ∴|x|≥|a|，即x≥|a|或x≤|a|．消去t，得普通方程為y=0，x∈(∞，|a|]∪[|a|，+∞)．此時(shí)曲線為x軸上的兩條射線，端點(diǎn)分別為(|a|，0)指向正半軸；(|a|，0)指向負(fù)半軸． 【點(diǎn)評】 消去參數(shù)過程中不注意方程中x，y的取值范圍，對任意常數(shù)a，b的可能情況不分別討論是導(dǎo)致失誤的主要原因． （t為參數(shù)）．問l1與12是否表示同一曲線？為什么？ 【疑難或錯解】 l1： 未對x，y的取值范圍進(jìn)行分析，根據(jù)兩曲線的普通方程，即斷言l1和l2表示同一直線，焉能不失誤． 【剖析】 在曲線l1的參數(shù)方程中，x=1+cos2θ=2cos2θ∈[0，2]，消去參數(shù)θ所得的普通方程2xy+1=0中x∈[0，2]，所以曲線l1為以（0，1）與（2，5）為端點(diǎn)的線段． 只l2，所以ll2不是同一條曲線． 【點(diǎn)評】 在曲線l1消去參數(shù)時(shí)，未分析x的取值范圍，破壞了軌跡的純粹性，是導(dǎo)致失誤的主要原因． A．20176?！ ．70176。 C．110176。 D．160176。 而誤選（A）． （D）． 還有將原方程化為 而無法作出判斷． 【剖析】 上述疑難的根源在于對直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)型概念模糊所致．在直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)型： sinα＞0，故當(dāng)a＜0，b＞0，且a2+b2=1時(shí)，才是標(biāo)準(zhǔn)型． 等都不是直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)型，由此推出的直線的傾斜角都是錯的?！ ∮麑⑵浠癁闃?biāo)準(zhǔn)型，應(yīng)將x=tsin20176。+3化為x=3+(t)sin(20176。)=3+(t)cos(90176。+20176。) 即x=3+(t)cos110176。，y=(t)sin(90176。+20176。)=(t)sin110176。． 這才是此直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)型，此直線傾斜角為110176。，應(yīng)選C． 傾斜率為110176。，無須化為標(biāo)準(zhǔn)型．另外結(jié)合直線的圖像，過點(diǎn)（3，0）、（3+sin20176。，cos20176。）。所以直線的傾斜角為鈍角，排除A、B，又由cos20176。＞sin20176。，可知傾斜角＜160176。，排除D，而選C．誠如華羅庚所說：“不可得義忘形”，形義結(jié)合，常可快速獲解。 B兩點(diǎn)，試求|PA|+|PB|之值． 【疑難或錯解】 直線l的參數(shù)方程為 代入橢圓方程，得 方程②的兩個(gè)根分別為t1=PA，t2=PB． ∵t1=PA＞0，t2=PB＜0．∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1t2 【剖析】 錯解對P(x0，0)的不同位置未加分析，貿(mào)然畫圖，把點(diǎn)P畫在橢圓內(nèi)部，只就|x0|＜5的情況作解答，忽視了點(diǎn)P在橢圓上或外的情況，可見錯解是不完整的． 【正確】 當(dāng)點(diǎn)P(x0，0)在橢圓內(nèi)部時(shí)，|x0|＜5，此時(shí)， 上時(shí)，|x0|=5， 方程②為 當(dāng)點(diǎn)P(x0，0)在橢圓外時(shí)，|x0|＞5，t1t2＞0，即tt2同號， 【點(diǎn)評】 當(dāng)問題中出現(xiàn)任意常數(shù)（如這里的x0）時(shí)，應(yīng)考慮各種可能，逐個(gè)進(jìn)行分析討論，否則可能犯以偏概全或漏解的錯誤．直線及圓的參數(shù)方程 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn):直線參數(shù)方程及圓的參數(shù)方程的基本形式，對直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)t的理解，非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程如何化為標(biāo)準(zhǔn)方程并求出傾角，并應(yīng)用直線參數(shù)方程解決有關(guān)問題。 例題分析: 例1．下列各式中，哪一個(gè)是直線的三角式方程，試述理由，若是點(diǎn)角式參數(shù)方程時(shí)，寫出始點(diǎn)和傾角，若不是，化為點(diǎn)角式參數(shù)方程。 ?。?）（t為參數(shù)）；（2）（t為參數(shù)）；（3）（t為參數(shù)） 解:（1）始點(diǎn)（2，3），傾角為π是點(diǎn)角式參數(shù)方程?！ 。?）不是點(diǎn)角式參數(shù)方程，不滿足為點(diǎn)角式參數(shù)方程的必要條件，即a2+b2=1?！ 〉切稳纾╰為參數(shù)）的可化為參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式即（t為參數(shù)） ?。?）（t為參數(shù)）不是點(diǎn)角式參數(shù)方程，令t39。=t，得， ∴ 直線始點(diǎn)為（2，2），傾角為。 例2．寫出過點(diǎn)A（1，2），傾角為45176。的直線l1的點(diǎn)角式參數(shù)方程，若l1與l2:x+2y4=0相交于B。 ?。?）求|AB|； （2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)。 解:設(shè)l1的參數(shù)方程為: ?。↖）（t為參數(shù)） 把（I）代入l2方程，1+t+2(2+t)4=0 解出t=（II）， ∴ |AB|=|t0|= 把（II）代入（I）得:B(, )。 小結(jié):從此例可看出應(yīng)用三角式參數(shù)方程求距離很簡捷。 例3．求橢圓=1中斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡。 解：（1）用普通方程解決，設(shè)弦中點(diǎn)P(x0, y0)，弦的兩端點(diǎn)A(x1, y1), B(x2, y2) 由已知得: (1)(2)： =0， ∴ .........(6) 將(5)代入(6)，∴ 2=, ∴x0+3y0=0,軌跡為含在橢圓內(nèi)的一條線段。 法（2）參數(shù)方程解題設(shè)弦中點(diǎn)P(x0,y0
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