以立體幾何中探索性問題為背景的解答題解析版(編輯修改稿)
2025-04-20 06:40 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 8. 如圖，在直三棱柱中，，是的中點．（1）求證：∥平面；（2）求二面角的余弦值；（3）試問線段上是否存在點，使與成角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由． 【答案】（1）見解析；（2）二面角的余弦值為；（3）當(dāng)點為線段中點時， 與成角.由 是直三棱柱，得 四邊形為矩形，為的中點.又為中點，所以為中位線，所以 ∥， 由二面角是銳角，得 . 8分所以二面角的余弦值為.（3）解：假設(shè)存在滿足條件的點.因為在線段上，，故可設(shè)，其中.所以 ，因為與成角，所以.，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，,是邊長為2的等邊三角形，,.（Ⅰ）求證：底面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的大??；（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，=試題解析：解：（Ⅰ）因為底面是菱形，,（Ⅱ）由已知可得 6分設(shè)平面的法向量為，則即令，則，因為，9分所以直線與平面所成角的正弦值為，10. 如圖是一個直三棱柱被削去一部分后的幾何體的直觀圖與三視圖中的側(cè)視圖、，俯視圖是等腰直角三角形,有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.(1)求證:EM∥平面ABC。(2)試問在棱DC上是否存在點N,使NM⊥平面? 若存在,確定點N的位置。若不存在,請說明理由.【答案】（1）詳見解析；（2）存在，【解析】11. 如圖，在各棱長均為的三棱柱中，側(cè)面底面，．（1）求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大??；（2）已知點滿足，在直線上是否存在點，使？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在點，使.12. 如圖，已知平面四邊形中，為的中點，，且．將此平面四邊形沿折成直二面角，連接，設(shè)中點為．[來源:]（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在一點，使得平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由．（3）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）詳見解析；（2）點存在，且為線段上靠近點的一個四等分點；（3）.（2）解法一：由（1）的分析易知，則以為原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．易知這樣的點存在，且為線段上靠近點的一個四等分點； （8分）解法二：（略解）如圖所示，（3）解法一：由（2）是平面的一個法向量，又，則得，所以，記直線與平面所成角為，則知，故所求角的正弦值為. ..（12分）13. 四棱錐中，為矩形，平面平面.（1）求證：（2）若問為何值時，四棱錐的體積最大？并求此時平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）詳見解析，（2）時，四棱錐的體積PABCD最大. 平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為（2）求四棱錐體積，：過P作AD的垂線，垂足為O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=A
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